【新高考复习】9 第8讲　曲线与方程　新题培优练

[基础题组练]1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔x－y＝0，xy－1＝0.故x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是()解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则x′＝2y，y′＝1－y2(0≤y≤1)，故y′＝1－x′24(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则x′＝2x，y′＝x2－1(0≤x≤1)，所以y′＝x′24－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN→2＝λAN→·NB→，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为MN→2＝λAN→·NB→，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．4．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM→＝35OA→＋25OB→，则点M的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x225＋y29＝1D.y225＋x29＝1解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由OM→＝35OA→＋25OB→，得(x，y)＝35(x0，0)＋25(0，y0)，则x＝35x0，y＝25y0，解得x0＝53x，y0＝52y，由|AB|＝5，得53x2＋52y2＝25，化简得x29＋y24＝1.5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则点P的轨迹方程是()A.32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.32x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－32y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋32y2＝1(x＞0，y＞0)解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP→＝2PA→，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝32x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ→·AB→＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝32x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量OP→在向量OA→上的投影为－5，则点P的轨迹方程是________．解析：由OP→·OA→|OA→|＝－5，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.答案：x＋2y＋5＝07．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足OC→＝OA→＋t(OB→－OA→)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＋t(OB→－OA→)＝(1＋t，2t)，所以x＝t＋1，y＝2t，消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.答案：y＝2x－28．设F1，F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|OD|＝12|F2B|＝12(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝49．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝64＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝5.因此其轨迹方程为x29＋y25＝1(y≠0)．(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4，即a＝12，c＝2，b＝152，因此其轨迹方程为4x2－415y2＝1x≥12.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.因此其轨迹方程为y2＝－8x.10.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解：由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②相乘得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x＜－3，y＜0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x＜－3，y＜0)．11.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足DM→＝12DP→.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．解：(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由DM→＝12DP→，知P(x，2y)，因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为x24＋y2＝1，且轨迹C是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：y＝k(x－3)，代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝24k21＋4k2，所以y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝24k31＋4k2－6k＝－6k1＋4k2.因为四边形OAEB为平行四边形，所以OE→＝OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝24k21＋4k2，－6k1＋4k2，又OE→＝(x，y)，所以x＝24k21＋4k2，y＝－6k1＋4k2，消去k得，x2＋4y2－6x＝0，由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，得k2＜15，所以0＜x＜83.所以顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6y＝00＜x＜83.[综合题组练]1．(创新型)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝13，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．由题意知|PE|2－|PM|2＝1，又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线．2．(创新型)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是()A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9C.x225＋y29＝1D．x2＝16y解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为x216－y29＝1.A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，x225＋y29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入x216－y29＝1，可得y－y29＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．3.(创新型)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.4．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝54sinC，则C点的轨迹方程为________．解析：由sinB＋sinA＝54sinC可知b＋a＝54c＝10，则|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，所以满足椭圆定义．令椭圆方程为x2a′2＋y2b′2＝1，则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为x225＋y29＝1(x≠±5)．答案：x225＋y29＝1(x≠±5)5．(应用型)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解：由题意知F12，0，设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，则1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|a－b|·|FD|＝12|a－b|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|a－b|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1，0)，满足方程y2＝x－1.综上所求的轨迹方程为y2＝x－1.6．(应用型)(2019·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－6，0)，A2(6，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.