2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.5　一元二次不等式及其解法

大一轮复习讲义第一章集合、常用逻辑用语、不等式考试要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(a≠0).知识梳理2判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝没有实数根2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系－b2aax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________Rax2＋bx＋c0(a0)的解集_________________xx≠－b2a{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)0(0)⇔______________；(2)≥0(≤0)⇔________________________.fxgxfxgxf(x)g(x)0(0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.1.二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？微思考(4)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集.()×√×√基础自测2.已知集合A＝{x|x2－5x＋40}，B＝{x|x2－x－60}，则A∩B等于A.(－2,3)B.(1,3)C.(3,4)D.(－2,4)题组二教材改编√解析由题意知A＝{x|1x4}，B＝{x|－2x3}，所以A∩B＝(1,3).3.不等式－x2－3x＋40的解集为________.(用区间表示)解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，得－4x1.(－4,1)4.函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是____________________________.－∞，1－73∪1＋73，＋∞解析由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.5.若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝______.题组三易错自纠－14解析∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.6.若不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________________.解析由题意得Δ＝a2－4×40，即a216.∴a4或a－4.(－∞，－4)∪(4，＋∞)TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究命题点1不含参的不等式例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－40}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于A.{－4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}√解析∵A＝{x|x2－3x－40}＝{x|(x＋1)(x－4)0}＝{x|－1x4}，B＝{－4,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}.题型一一元二次不等式的求解多维探究(2)不等式≥0的解集为A.[－2,1]B.(－2,1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)√解得－2x≤1.1－x2＋x解析原不等式化为1－x2＋x≥0，2＋x≠0，即x－1x＋2≤0，x＋2≠0，命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0).解原不等式变为(ax－1)(x－1)0，因为a0，所以x－1a(x－1)0.所以当a1时，解得1ax1；当a＝1时，解集为∅；当0a1时，解得1x1a.综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.引申探究在本例中，把a0改成a∈R，解不等式.解当a0时，同例2，当a＝0时，原不等式等价于－x＋10，即x1，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a0时，1a1，原不等式可化为x－1a(x－1)0，解得x1或x1a.综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a，当a1时，不等式的解集为x1ax1，当a＝0时，不等式的解集为{x|x1}，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华跟踪训练1(1)已知不等式ax2－bx－10的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是_______________.故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.x－12x－13{x|x≥3或x≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.(2)解不等式12x2－axa2(a∈R).解原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.命题点1在R上的恒成立问题例3对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]题型二一元二次不等式恒成立问题多维探究√解析当a－2＝0，即a＝2时，－40恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，解得－2a2.综上，实数a的取值范围是(－2,2].则有a－20，Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－40，命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，则实数m的取值范围为__________.－∞，67解析要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下两种方法：即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3].当m0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－60，所以m6，所以m0.又因为m(x2－x＋1)－60，综上所述，m的取值范围是－∞，67.方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，所以m6x2－x＋1.令y＝6x2－x＋1，因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m67即可.所以m的取值范围是－∞，67.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2－mx－10对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为__________________.1－32，1＋32解析设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2－x－10，2x2－2x－10，解得1－32x1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法).思维升华A.a－12或a12B.a12或a0C.a12D.－12a12跟踪训练2(1)若不等式ax2－x＋a0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为解析当a＝0时，－x0不恒成立，故a＝0不合题意；√当a≠0时，a0，Δ0即a0，1－4a20.解得a12.(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是A.(－∞，4]B.(－∞，－5)C.(－∞，－5]D.(－5，－4)√解析令f(x)＝x2＋mx＋4，∴x∈(1,2)时，f(x)0恒成立，∴f1≤0，f2≤0，即1＋m＋4≤0，4＋2m＋4≤0，解得m≤－5.一元二次方程根的分布情况拓展视野设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).分布情况两个负根即两根都小于0(x10，x20)两个正根即两根都大于0(x10，x20)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x10x2)大致图象(a0)得出的结论f(0)0表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，f00大致图象(a0)得出的结论f(0)0综合结论(不讨论a)a·f(0)0Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，f00Δ0，－b2a0，a·f00Δ0，－b2a0，a·f00分布情况两根都小于k即x1k，x2k两根都大于k即x1k，x2k一个根小于k，一个根大于k即x1kx2大致图象(a0)得出的结论f(k)0表二：(两根与k的大小比较)Δ0，－b2ak，fk0Δ0，－b2ak，fk0大致图象(a0)得出的结论f(k)0综合结论(不讨论a)a·f(k)0