2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.6　基本不等式

大一轮复习讲义第一章集合、常用逻辑用语、不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.课时精练主干梳理基础落实题型突破核心探究内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实知识梳理(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.1.基本不等式：ab≤a＋b2a0，b0a＝ba＋b2ab2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R).(2)ba＋ab≥(a，b同号).(3)ab≤(a，b∈R).(4)a2＋b22≥(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2ab2a＋b22a＋b223.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，和x＋y有最值.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，积xy有最值.(简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”.x＝y小2px＝y大p24微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.2.函数y＝x＋1x的最小值是2吗？提示不是.因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)(a＋b)2≥4ab.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.()(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.()××√×题组二教材改编解析∵x2，2.已知x2，则x＋1x－2的最小值是A.1B.2C.22D.4√∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2x－21x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.已知函数f(x)＝x＋，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)1x√综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).解析f(x)＝x＋1x，当x0时，f(x)＝x＋1x≥21＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立.当x0时，f(x)＝－－x＋1－x≤－2－x·1－x＝－2，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时，等号成立.4.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____m2.25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25m2.题组三易错自纠5.函数y＝(x0)的最大值为____.xx2＋112解析y＝xx2＋1＝1x＋1x≤12.当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立.6.函数y＝x2x－1(x1)的最小值为_____.4解析∵x1，∴x－10，∴y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋2≥4.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究命题点1配凑法例1(1)已知0x1，则x(3－2x)的最大值为____.98解析x(3－2x)＝12·2x(3－2x)≤12·2x＋3－2x22＝98，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号.题型一利用基本不等式求最值多维探究(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最小值为_____.解析∵x54，∴4x－50，5∴f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号.(3)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x－1)，则A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4√解析f(x)＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2＝－(x＋1)＋1－x＋1＋2.因为x－1，所以x＋10，－(x＋1)0，所以f(x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－x＋1，即x＝－2时，等号成立.故f(x)有最小值4.命题点2常数代换法例2若正数m，n满足2m＋n＝1，则1m＋1n的最小值为A.3＋22B.3＋2C.2＋22D.3√解析因为2m＋n＝1，则1m＋1n＝1m＋1n·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，当且仅当n＝2m，即m＝2－22，n＝2－1时等号成立，所以1m＋1n的最小值为3＋22，故选A.命题点3消元法例3已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为____.6解析方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y1＋y1＋y＝9＋3y21＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝12－6＝6，＝3(1＋y)＋121＋y－6≥231＋y·121＋y－6当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.引申探究本例条件不变，求xy的最大值.解方法一9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.令xy＝t，∴t0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，方法二∵x＝9－3y1＋y，∴xy的最大值为3.∴x·y＝9－3y1＋y·y＝9y－3y21＋y＝－3y＋12＋15y＋1－12y＋1＝－3(y＋1)－12y＋1＋15≤－23y＋1·12y＋1＋15＝3.当且仅当3(y＋1)＝12y＋1，即y＝1，x＝3时取等号.(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.思维升华跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝22x－1＋xx12，则A.f(x)有最小值52B.f(x)有最小值－32C.f(x)有最大值－12D.f(x)有最大值－32√解析∵x12，∴12－x0，f(x)＝22x－1＋x＝1x－12＋x－12＋12＝－112－x＋12－x＋12≤－2＋12＝－32，当且仅当112－x＝12－x，即x＝－12时取等号，故f(x)有最大值－32.(2)已知x0，y0且x＋y＝5，则1x＋1＋1y＋2的最小值为____.12∴1x＋1＋1y＋2＝1m＋1n＝1m＋1n×18(m＋n)＝18nm＋mn＋2≥18·(21＋2)＝12.当且仅当nm＝mn，即m＝n＝4时等号成立.∴1x＋1＋1y＋2的最小值为12.解析令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x0，y0，∴m0，n0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是____.Sn＋8an92题型二基本不等式的综合应用多维探究解析an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n2，所以Sn＋8an＝n1＋n2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n·16n＋1＝92，当且仅当n＝16n，即n＝4时取等号，所以Sn＋8an的最小值是92.A.2B.22C.4D.92命题点2求参数值或取值范围例5(2021·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为√∴m2＋2n2≥amn，即a≤m2＋2n2mn＝mn＋2nm恒成立，∵mn＋2nm≥2mn·2nm＝22，当且仅当mn＝2nm，即m＝2n时取等号，解析∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，∴a≤22，故实数a的最大值为22，故选B.(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.思维升华跟踪训练2(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2B.4C.6D.81x＋ay√即正实数a的最小值为4，故选B.解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，(2)若△ABC的内角满足3sinA＝sinB＋sinC，则cosA的最小值是A.23B.79C.13D.59√解析由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cosA的最小值是79.核心素养题型三基本不等式的实际应用例6小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？解设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0x≤10，x∈N*)，由－x2＋20x－500，可得10－52x≤10.因为210－523，所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出.(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y＋25－xx＝19－x＋25x≤19－225＝9，当且仅当x＝25x，即x＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.(1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)构建数学模型，提升数学建模核心素养.素养提升跟踪