2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.1 第1课时　函数的概念及其表示

大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实知识梳理1.函数的概念一般地，设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的.(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，我们就称这两个函数相等.数集唯一确定定义域{f(x)|x∈A}值域定义域对应关系4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.对应关系3.函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和.解析法列表法微思考1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？提示0个或1个.2.函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？提示函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.()基础自测(3)y＝x－3＋2－x是一个函数.()××××题组二教材改编2.函数f(x)＝的定义域为________________.解得x≥0且x≠2，∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞).2x－1＋1x－2[0,2)∪(2，＋∞)解析依题意2x－1≥0，x－2≠03.已知函数f(x)＝则f(2)＝____.2x，x≤1，fx－1，x1，2解析f(2)＝f(1)＝21＝2.4.函数f(x)＝x－在区间[2,4]上的值域为________.解析f(x)＝x－1x在区间[2,4]上单调递增，32，154又f(2)＝32，f(4)＝154，1x故f(x)的值域为32，154.题组三易错自纠5.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确.√∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，6.已知f(x)＝x＋x－1，则f(x)＝________________.x2＋x－1，x≥0TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是√第1课时函数的概念及其表示题型一函数的概念B.f(x)＝x－1，g(x)＝x2－1x＋1C.f(x)＝x2，g(x)＝x，x≥0，－x，x0D.f(x)＝－x3，g(x)＝x－x2.(多选)下列各组函数相等的是A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1√√3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.③解析③中，f：x→y＝23x，x∈[0,4]时，y＝23x∈0，83⊈Q，故不满足函数的定义.(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.思维升华例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；题型二求函数的解析式师生共研解(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；解(配凑法)∵fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).思维升华1x跟踪训练1(1)若f1x＝x1－x，则f(x)＝__________________.解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1).1x－1(x≠0且x≠1)(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝__________.解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.x2＋2x＋1(3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________.1x－2x3－43x解析∵f(x)－2f1x＝2x，①以1x代替①中的x，得f1x－2f(x)＝2x，②①＋②×2得－3f(x)＝2x＋4x，∴f(x)＝－2x3－43x.命题点1求分段函数的函数值题型三分段函数多维探究例2已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx－1＋1，x1，则f43＋f－43的值为A.12B.－12C.－1D.1解析f43＝f43－1＋1＝f13＋1＝cosπ3＋1＝32，f－43＝cos－4π3＝cos2π3＝－12，√∴f43＋f－43＝32－12＝1.命题点2分段函数与方程、不等式问题例3(1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于A.－3B.－1C.1D.32x，x0，x＋1，x≤0.√解析∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为A.(－∞，2]B.(－∞，0]∪(1,2]C.[0,2]D.(－∞，0]∪[1,2]log2x，x≥1，11－x，x1，√解析∵当x≥1时，log2x≤1，∴1≤x≤2.当x1时，11－x≤1，解得x≤0，∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2].(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.思维升华跟踪训练2(1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝____，f(x)的最小值是________.x＋2x－3，x≥1，x2＋1，x1.022－3解析∵f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋22－3＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当且仅当x＝2时取等号，f(x)min＝22－3，当x1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，∴f(x)min＝1，综上有f(x)的最小值为22－3.(2)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是___________.－14，＋∞解析当x12时，2x＋1恒成立，∴x12，122x当0x≤12时，2x＋x－12＋11，即2x＋x12恒成立，∴0x≤12，当x≤0时，x＋1＋x－12＋11，解得－14x≤0，综上有x的取值范围是－14，＋∞.KESHIJINGLIAN课时精练1.下列所给图象是函数图象的个数为A.1B.2C.3D.412345678910111213141516基础保分练√解析图象①关于x轴对称，x0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.123456789101112131415162.已知函数f(x)＝2x＋1，x≤0，1－log2x，x0，则f(f(8))等于A.－1B.－12C.12D.2√∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝12.解析∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2，123456789101112131415163.设函数f1－x1＋x＝x，则f(x)的表达式为A.1＋x1－x(x≠－1)B.1＋xx－1(x≠－1)C.1－x1＋x(x≠－1)D.2xx＋1(x≠－1)√解析令t＝1－x1＋x，则x＝1－t1＋t，∴f(t)＝1－t1＋t，即f(x)＝1－x1＋x(x≠－1).123456789101112131415164.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是√12345678910111213141516解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件.123456789101112131415165.(多选)设函数f(x)＝2x，x≤0，|log2x|，x0，则使f(a)＝12的a的值为A.－1B.1C.