2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.1 第2课时　函数的定义域与值域

大一轮复习讲义第二章§2.1函数的概念及其表示1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为A.(0,4)B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)题型一函数的定义域自主演练1x－2√解析要使函数有意义，则4x－x20，x－2≠0，解得0x4且x≠2.－x2＋2x＋3lgx＋12.(2021·安徽江南十校模拟)函数y＝的定义域为A.(－1,3]B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3]D.[－1,0)∪(0,3]√解析要使函数有意义，x需满足－x2＋2x＋3≥0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3].3.若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为______.f2x8－2x[0,3)解析依题意有0≤2x≤8，8－2x0，解得0≤x3，∴g(x)的定义域为[0,3).(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.(2)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.思维升华(3)求函数定义域应注意的问题①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.例1求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；题型二函数的值域师生共研解(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).(2)y＝2x＋1x－3；解(分离常数法)y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).显然7x－3≠0，∴y≠2.(3)y＝2x－x－1；解(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞.(4)y＝x＋1＋x－1.∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数，解函数的定义域为[1，＋∞)，∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞).求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法.思维升华跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y＝2x－12x＋1；解方法一y＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，∵2x0，∴2x＋11，∴022x＋12，∴－11－22x＋11，∴函数的值域为(－1,1).方法二由y＝2x－12x＋1得2x＝y＋11－y，又∵2x0，∴y＋11－y0，即(y＋1)(y－1)0，即－1y1.∴函数的值域为(－1,1).(2)y＝＋12x，x∈[1,2)；12logx解函数y＝＋12x在[1,2)上单调递减，12logx当x＝1时，y＝12，当x＝2时，y＝－1＋14＝－34，∴－34y≤12，∴函数的值域为－34，12.(3)y＝x2－x＋2x－1(x1).∴y＝t＋12－t＋1＋2t＝t2＋t＋2t＝t＋2t＋1≥22＋1，当且仅当t＝2t即t＝2时取等号，∴函数的值域为[22＋1，＋∞).解令t＝x－1，∴t0，x＝t＋1，题型三定义域与值域的应用师生共研例2(1)(2021·广州模拟)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为_____.所以a0，1＋2＝－b，1×2＝ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.－92解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集.不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，(2)已知函数y＝x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围.则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，解令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝t的值域为[0，＋∞)，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}.已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解.思维升华跟踪训练2(1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为__________.12，＋∞解析要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－10，即ax－10在(2，＋∞)上恒成立，∴a0，2a－1≥0，解得a≥12.(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b1)，则实数b＝____.∵f(x)在[1，b]上为增函数，解析f(x)＝12(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b1，则f(1)＝1，f(b)＝12(b－1)2＋1，123∴函数f(x)的值域为1，12b－12＋1.由已知得12(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍).KESHIJINGLIAN课时精练1.函数f(x)＝的定义域为A.(－∞，3]B.(1，＋∞)C.(1,3]D.[3，＋∞)12345678910111213141516基础保分练12log(1)1x√解析依题意＋1≥0，1234567891011121314151612log(1)x-即≥－1，12log(1)x-∴x－1≤2，x－10，解得1x≤3.12345678910111213141516A.y＝x－1B.y＝lnxC.y＝13x－1D.y＝x＋1x－1解析y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D.2.(2021·贵阳检测)下列函数中，定义域与值域相同的是√123456789101112131415163.函数f(x)＝loga(mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则m的值为A.－2B.－12C.12D.2则m0，2m＋1＝0，√解析依题意mx＋10的解集为(－∞，2)，∴m＝－12.123456789101112131415164.函数y＝1＋x－1－2x的值域为A.－∞，32B.－∞，32C.32，＋∞D.32，＋∞√12345678910111213141516解析设1－2x＝t，则t≥0，x＝1－t22，所以y＝1＋1－t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤32.所以函数y＝1＋x－1－2x的值域为－∞，32，故选B.123456789101112131415165.已知函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是A.(－∞，－1]B.－1，12C.－1，12D.0，12√12345678910111213141516故1－2a0，1－2a＋3a≥0，解析∵x≥1时，f(x)＝lnx≥ln1＝0，又f(x)的值域为R，故当x1时，f(x)的值域包含(－∞，0).解得－1≤a12.12345678910111213141516x2，0≤x≤2，2x，x26.(多选)下列函数中值域为R的有A.f(x)＝3x－1B.f(x)＝lg(x2－2)C.f(x)＝D.f(x)＝x3－1√√√12345678910111213141516B项，由x2－20得x2或x－2，C项，f(x)＝x2，0≤x≤2，2x，x2，当x2时，f(x)＝2x4，解析A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件.123456789101112131415167.(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是A.y＝2f(x)＋1B.y＝f(2x＋1)C.y＝－f(x)＋1D.y＝|f(x)|√√12345678910111213141516解析y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，故D不满足.123456789101112131415168.(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为A.2B.3C.4D.5√√√解析函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，当x＝0时，取最大值－4，当x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.则当m2时，最小值为－8，而f(0)＝－4，由对称性可知，2m≤4.∴实数m的值可能为2,3,4.12345678910111213141516则1＋1x0，x≠0，1－x2≥0⇒x－1或x0，x≠0，－1≤x≤1⇒0x≤1.解析要使函数f(x)有意义，9.函数f(x)＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为______.∴f(x)的定义域为(0,1].(0,1]1234567891011121314151610.函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为__________.(－∞，0]解析令t＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴t≥1，而y＝log0.3t在[1，＋∞)上单调递减，∴y≤log0.31＝0，故原函数的值域为(－∞，0].1234567891011121314151611.(2020·河北示范性高中联考)函数f(x)＝2x－5，x≤2，3sinx，x2的值域为________.(－5,3]解析当x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，则－5f(x)≤－1；当x2时，sinx∈[－1,1]，∴f(x)＝3sinx∈[－3,3].故f(x)的值域是(－5,3].1234567891011121314151612.函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是______.1kx2－kx＋3[0,12)解析依题意kx2－kx＋3≠0恒成立，①当k＝0时3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，②当k≠0时Δ0即k2－12k0，∴0k12，综上有0≤k12.12345678910111213141516技能提升练13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}