【新高考复习】8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布　新题培优练

[基础题组练]1．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X1)＝p，则P(－1X0)＝()A.12＋pB．1－pC．1－2pD.12－p解析：选D.因为随机变量X服从正态分布N(0，1)，所以正态分布曲线关于直线x＝0对称，所以P(X0)＝P(X0)＝12，P(X1)＝P(X－1)＝p，所以P(－1X0)＝P(X0)－P(X－1)＝12－p.2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A.13B.23C．2D.83解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝1C23＝13，P(X＝3)＝C12C11C23＝23，所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.3．(2018·安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有()(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σXμ＋2σ＝0.9545)A．4093件B．4772件C．6827件D．8186件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.9545，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σXμ＋σ)＝0.6827，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.6827＋0.9545－0.68272＝0.8186，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10000×0.8186＝8186(件)．4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6，2.4B．2，2.4C．2，5.6D．6，5.6解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A．3B.83C．2D.53解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝193＝1729，P(X＝1)＝C13×891×192＝24729P(X＝2)＝C23×892×191＝192729，P(X＝3)＝893＝512729.所以随机变量X的分布列为X0123P172924729192729512729数学期望E(X)＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83.6．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X服从正态分布N(72，4)，则P(X70或X76)等于________．(附：(P(μ－σXμ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.9545)解析：因为随机变量X服从正态分布N(72，4)，所以μ＝72，σ＝2，所以P(70X74)＝0.6827，P(68X76)＝0.9545，所以P(X70)＝0.15865，P(X76)＝0.02275，所以P(X70或X76)＝0.15865＋0.02275＝0.1814.答案：0.18147．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．ξ0123P0.1ab0.1解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.答案：－0.28．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝12×12×23＝212，P(ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P(ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝412，P(ξ＝3)＝12×12×13＝112.所以E(ξ)＝0×212＋1×512＋2×412＋3×112＝43.答案：439．(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)．解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均数为x－＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克．(2)该盒子中小球重量在[5，15]内的概率为15，则X～B3，15，X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C03150453＝64125，P(X＝1)＝C13151×452＝48125，P(X＝2)＝C23152×451＝12125，P(X＝3)＝C33153450＝1125.所以X的分布列为X0123P6412548125121251125所以E(X)＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.(或者E(X)＝3×15＝35.)10．(2019·长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益/万元2015107.5若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，所以基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)．综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．[综合题组练]1．某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：瓶，n∈N)的函数解析式；(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望；②若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．解：(1)当n≥30时，y＝30×(7－3)＝120；当n≤29时，y＝(7－3)n－3(30－n)＝7n－90.故y＝7n－90，0≤n≤29120，n≥30，n∈N.(2)①X的可能取值为85，92，99，106，113，120，P(X＝85)＝0.05，P(X＝92)＝0.1，P(X＝99)＝0.1，P(X＝106)＝0.05，P(X＝113)＝0.1，P(X＝120)＝0.6.X的分布列为X859299106113120P0.050.10.10.050.10.6E(X)＝(85＋106)×0.05＋(92＋99＋113)×0.1＋120×0.6＝111.95.②购进29瓶时，当天利润的数学期望为t＝(25×4－4×3)×0.05＋(26×4－3×3)×0.1＋(27×4－2×3)×0.1＋(28×4－1×3)×0.05＋29×4×0.7＝110.75，因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q(1)当p＝14时，求q的值．(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p＋13＋q＝1.又p＝14，所以q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝AB－∪AB－∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，所以P(C)＝P(AB－)＋P(A－B)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝12＋12p.因为P(C)＝12＋12p＞45，所以p＞35.又p＋13＋q＝1，q≥0，所以p≤23.所以p的取值范围为35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为X40－2P121838则E(X)＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y的分布列为Y20－1P121316则E(Y)＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E(X)＞E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为