【新高考复习】4 第4讲　二次函数与幂函数　新题培优练

[基础题组练]1．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.因为y＝xm2－4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m0，即0m4.又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－4m为偶数，因此m＝2.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y＝logax(a0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()解析：选A.当0a1时，y＝logax为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝12（a－1）0，排除C，D；当a1时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝12（a－1）0，排除B.故选A.4．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)解析：选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝2k，当k0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k≥2.当k0时，2k0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)0的解集是()A．(－4，2)B．(－2，4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a0)，于是f(x)0，解得x2或x－4.6．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f1312，b＝f(lnπ)，c＝f－12，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．abcC．bcaD．bac解析：选A.根据题意，m－1＝1，所以m＝2，所以2n＝8，所以n＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3是定义在R上的增函数，又－1201312130＝1lnπ，所以cab.7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)f(4)，则()A．a0，4a＋b＝0B．a0，4a＋b＝0C．a0，2a＋b＝0D．a0，2a＋b＝0解析：选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数．因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－b2a＝2，则4a＋b＝0，又f(3)f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a0.故选B.8．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x－12＝1x(x0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数，又f(a＋1)f(10－2a)，所以a＋10，10－2a0，a＋110－2a，解得a－1，a5，a3，所以3a5.答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝13.所以y＝13(x－3)2＝13x2－2x＋3.答案：y＝13x2－2x＋310．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数，所以a0，所以0a≤1.答案：(0，1]11．已知函数f(x)＝bx2－2ax＋a(a，b∈R)的图象过点12，14.(1)当a＝2时，求函数y＝log12f(x)的单调增区间；(2)当a＜0时，求使函数f(x)的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a值．解：因为f(x)＝bx2－2ax＋a的图象过点12，14，所以b＝1，(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2，令f(x)＞0可得，x＞2＋2或x＜2－2，所以f(x)在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减，y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y＝log12f(x)的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a＜0时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴x＝a＜0，①a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，当x＝－1时，函数有最小值f(－1)＝1＋3a＝－2，当x＝1时，函数有最大值f(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，②0＞a＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x＝a时，函数有最小值f(a)＝a－a2＝－2，解得，a＝2(舍)或a＝－1(舍)，综上可得，a＝－1.12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，所以f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为－214，15.(2)对称轴为x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；②当－2a－121，即a－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知，a＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a0)，若x1x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)f(x2)D．与a值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝14，又依题意，得x10，x20，又x1＋x2＝0，所以当x1，x2在对称轴的两侧时，14－x1x2－14，故f(x1)f(x2)．当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)f(x2)．综上，f(x1)f(x2)．3．(创新型)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈－94，－2，故当m∈－94，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点．答案：－94，－24．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x＞0，－f（x），x＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝（x＋1）2，x＞0，－（x＋1）2，x＜0.所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．