2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.8　函数模型及其应用

大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.几类函数模型知识梳理函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)kx2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_____平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnaxy轴x轴解函数应用题的一般步骤是什么？提示解函数应用题的步骤微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)和y＝logax(a1)的增长速度.()(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.()××基础自测√×题组二教材改编2.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是A.y＝2xB.y＝x2－1C.y＝2x－2D.y＝log2x√解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.3.已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m0).若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是__________.解析由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m0)，12，＋∞又m·2t＋21－t≥22m，∴22m≥2，∴m≥12.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，∴当x＝3时，y最大.3题组三易错自纠5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是A.8B.9C.10D.11√解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为12n，由12n11000，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12∶00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是________.8℃解析由题意知，上午8时，即t＝－4，因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是题型一用函数图象刻画变化过程自主演练解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.√2.(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋bexD.y＝a＋blnx√解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近.3.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4x≤8时，f(x)＝8；当8x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.√判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华题型二已知函数模型的实际问题师生共研例1小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)13100xL(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3；解每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元.当0x8时，当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.故L(x)＝－13x2＋4x－3，0x8，35－x＋100x，x≥8.(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；解当0x8时，L(x)＝－13x2＋4x－3＝－13(x－6)2＋9；当x≥8时，L(x)＝35－x＋100x≤35－2x·100x＝15(万元)，当且仅当x＝100x，即x＝10时，取等号.综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.思维升华跟踪训练1某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是______；(2)最低种植成本是_____元/100kg.12080解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得a60－1202＋m＝116，a100－1202＋m＝84，解得a＝0.01，m＝80，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.命题点1构造二次函数模型例2某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]核心素养题型三构造函数模型的实际问题30－52R√解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8].命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；1422解设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，11012解得x＝1－.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？故到今年为止，该森林已砍伐了5年.解设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即＝，1012m1212即m10＝12，解得m＝5.引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，≥，即n10≤32，解得n≤15.1012n3212故今后最多还能砍伐15年.命题点3构造分段函数模型例4国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；解设该旅行团的人数为x人，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.①当0≤x≤30时，y＝900，②当30x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，综上有y＝900，0≤x≤30，－10x＋1200，30x≤75.(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解当0≤x≤30时，w＝900x－15000，当x＝30时，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；当30x≤75时，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，当x＝60时，w最大为21000元，∴每团人数为60时，旅行社可获得最大的利润.1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.2.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.素养提升跟踪训练2(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位