【新高考复习】5 第5讲　指数与指数函数　新题培优练

[基础题组练]1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18B．21C．24D．27解析：选D.因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.3．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：选B.因为a＝log20.20，b＝20.21，c＝0.20.3∈(0，1)，所以acb.故选B.4．设x0，且1bxax，则()A．0ba1B．0ab1C．1baD．1ab解析：选C.因为1bx，所以b0bx，因为x0，所以b1，因为bxax，所以abx1，因为x0，所以ab1，所以ab，所以1ba.故选C.5．已知函数f(x)＝1－2－x，x≥0，2x－1，x0，则函数f(x)是()A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析：选C.易知f(0)＝0，当x0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.6．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图所示．由12a＝13b得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．7．函数f(x)＝ax＋b－1(其中0a1且0b1)的图象一定不经过第________象限．解析：由0a1可得函数y＝ax的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0b1，所以－1b－10，所以01－b1，y＝ax的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝ax＋b－1的图象，所以y＝ax＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．答案：三8．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝19得a2＝19.又a0，所以a＝13，因此f(x)＝13|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．不等式12x2＋ax122x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．解析：由题意，y＝12x是减函数，因为12x2＋ax122x＋a－2恒成立，所以x2＋ax2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋20恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)0，即(a－2)(a－2＋4)0，即(a－2)(a＋2)0，故有－2a2，即a的取值范围是(－2，2)．答案：(－2，2)10．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析：由题意得，f(x)＝e|x|，x≥1，e|x－2|，x1.当x≥1时，f(x)＝e|x|＝ex≥e(当x＝1时，取等号)；当x1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－xe.故f(x)的最小值为f(1)＝e.答案：e11．设f(x)＝x（1－2x）1＋2x.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．解：(1)根据题意，f(x)＝x（1－2x）1＋2x，则f(－x)＝（－x）（1－2－x）1＋2－x＝（－x）（2x－1）2x＋1＝x（1－2x）1＋2x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．(2)因为f(x)＝x（1－2x）1＋2x＝－x＋2x2x＋1，所以f′(x)＝－1＋2（2x＋1）－2x（2xln2）（2x＋1）2＝－1＋22x＋1－2x（2xln2）（2x＋1）2，因为x＞0，所以2x＋1＞2，所以22x＋1＜1，所以－1＋22x＋1＜0，所以f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈18，1.故y＝2t2－t－1＝2t－142－98，t∈18，1，故值域为－98，0.(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，设2x＝m0，等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，记g(m)＝2am2－m－1，当a＝0时，解为m＝－10，不成立．当a0时，开口向下，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，不成立．当a0时，开口向上，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a0.[综合题组练]1．(应用型)已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b≥0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为abc且f(a)f(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，c0，所以02a1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12c2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因为f(a)f(c)，所以1－2a2c－1，所以2a＋2c2，故选D.2．(创新型)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝f（x），f（x）≤K，K，f（x）K.给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.3．设a0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．解：令t＝ax(a0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，解得a＝－15(舍去)或a＝13.②当a1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝13或3.答案：13或34．(应用型)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0，解得k－13.故k的取值范围为－∞，－13.