2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 强化训练2　函数与方程中的综合问题

大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ1.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有A.f(x)＝3x－1B.f(x)＝x2－2x＋1C.f(x)＝log4xD.f(x)＝ex－212345678910111213141516基础保分练√解析f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.A.(－2,1)内B.52，4内C.1，74内D.74，52内2.函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间(－2,4)上的零点必定在区间12345678910111213141516√且f－2＋42＝f(1)＝－40，∴零点在(1,4)内.解析∵f(－2)＝－280，f(4)＝380，12345678910111213141516又f1＋42＝f52＝3780，∴零点在区间1，52内.又f1＋522＝f740，∴零点在区间74，52内.123456789101112131415163.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是A.(0,1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)√解析由f(x)＝ex0，f(m)＝g(n)，则g(n)＝lnn0，∴n1.4.若函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，则a的取值范围是A.(0,3)B.[0,3]C.(－3,0)D.(－∞，0)∪(3，＋∞)12345678910111213141516√解析∵f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，∴f20，f－10，即－22＋2a＋40，－－12－a＋40，解得0a3.123456789101112131415165.已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx的零点为b，则下列不等式中成立的是A.f(a)f(a＋b)f(b)B.f(a＋b)f(a)f(b)C.f(a)f(b)f(a＋b)D.f(b)f(a＋b)f(a)解析由题意可知函数f(x)在R上单调递增，f(0)＝e0＋0－2＝－10，f(1)＝e1＋1－2＝e－10，∴函数f(x)的零点a∈(0,1)，又函数g(x)的零点b＝1，∴0aba＋b，∴f(a)f(b)f(a＋b).√123456789101112131415166.(多选)设函数f(x)＝－ln|ax|(a＞0)，若f(x)有4个零点，则a的可能取值有A.1B.2C.3D.4√ax22e√√解析①当a＝1时，f(x)＝x22e－ln|x|，函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x22e－lnx，f′(x)＝xe－1x＝x－ex＋eex，f(x)在(0，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，f(x)min＝f(e)＝0，x＞0时，有一个交点，所以f(x)共有2个零点，故不成立，②当a＝2时，当x＞0时，f(x)＝x2e－ln2x，f′(x)＝2xe－1x＝2x2－eex＝2x－e2x＋e2ex，12345678910111213141516f(x)在0，e2上递减，在e2，＋∞上递增，f(x)min＝fe2＝12(1－ln2e)＜0有两个交点，所以共有4个零点，故成立，同理可得a＝3，a＝4时成立.1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意得2x＋x－2＝0，设f(x)＝2x＋x－2，所以f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋1－2＝1，所以f(0)f(1)0，又函数f(x)是R上的连续函数，所以由零点存在性定理，得方程2x＋x＝2的解所在的区间是(0,1).故k＝0.7.方程2x＋x＝2的解所在的区间是(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.0123456789101112131415168.若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是____________.解析方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，令t＝3x0，则方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根，又两根的积为4，∴Δ＝4＋a2－16≥0，－4＋a0，解得a≤－8.(－∞，－8]123456789101112131415169.已知函数f(x)＝|x＋1|，x≤0，lnx＋1，x0，若方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(abc)，则(a＋b)c的取值范围是____________.－2，－2e所以1ec≤1，12345678910111213141516解析画出f(x)的图象.所以方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(abc)，可知m的取值范围为(0,1]，由题意可知a＋b＝－2,0lnc＋1≤1，所以－2≤(a＋b)c－2e.10.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝－x－a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为_____________.123456789101112131415162x－1，x≥0，fx＋1，x0，(－1，＋∞)12345678910111213141516解析当x≥0时，f(x)＝2x－1，当－1≤x0时，f(x)＝2x＋1－1，当－2≤x－1时，f(x)＝2x＋2－1，画出函数f(x)的图象，如图：因为方程f(x)＝－x－a有两个不同的实根，所以函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点.由直线y＝－x－a过点(0,1)，得a＝－1；由直线y＝－x－a过点(0,0)，得a＝0；由直线y＝－x－a过点(－1,0)，得a＝1；而函数f(x)不过点(0,1)，(－1,1)，(－2,1)，因此当a－1时，函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点，即方程f(x)＝－x－a有两个不同实根.1234567891011121314151611.求证：方程3x＋4x＝5x只有一个实数解.12345678910111213141516证明要证方程3x＋4x＝5x只有一个实数解，即证35x＋45x＝1只有一个实数解，即证f(x)＝35x＋45x－1有唯一零点.∵f(0)＝350＋450－1＝10，f(3)＝353＋453－1＝－341250，∴f(0)f(3)0，∴f(x)在(0,3)上有零点.又f(x)在R上是减函数，12345678910111213141516∴f(x)在(0,3)上有唯一零点，即f(x)在R上有唯一零点，即方程3x＋4x＝5x只有一个实数解.1234567891011121314151612.设函数f(x)＝log2(x＋m)(m∈R).(1)当m＝2时，解不等式f1x1；解由题意，知log21x＋21，则1x＋20，1x＋22，解得x－12或x0，x0，故x－12，所以原不等式的解集为－∞，－12.12345678910111213141516(2)若m＝10，且关于x的方程f(x)＝12x＋λ在[－2,6]上有实数解，求实数λ的取值范围.解log2(x＋10)＝12x＋λ，即λ＝log2(x＋10)－12x在[－2,6]上有实数解，设g(x)＝log2(x＋10)－12x，因为g(x)在[－2,6]上单调递增，所以当x＝－2时，λmin＝1；当x＝6时，λmax＝318.所以实数λ的取值范围是1，318.13.四个函数f(x)＝10x，g(x)＝110x，h(x)＝lgx，φ(x)＝，方程f(x)＝φ(x)，g(x)＝φ(x)，g(x)＝h(x)的实数根分别为a，b，c，则A.abcB.cbaC.cabD.bac12345678910111213141516技能提升练√110logx12345678910111213141516解析如图，画出四个函数的图象，由图可知，abc.14.函数f(x)＝12|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和为A.4B.6C.8D.1012345678910111213141516√12345678910111213141516h(2－x)＝－2cos(2π－πx)＝－2cosπx＝h(x)，解析令f(x)＝0，可得12|x－1|＝－2cosπx，令g(x)＝12|x－1|，h(x)＝－2cosπx，则g(x)＝2x－1，－2≤x≤1，12x－1，1x≤4，∵g(2－x)＝12|2－x－1|＝12|1－x|＝12|x－1|＝g(x)，12345678910111213141516∴函数y＝g(x)和y＝h(x)的图象都关于直线x＝1对称，作出这两个函数在区间[－2,4]上的图象如图所示.由图象可知，函数y＝g(x)和y＝h(x)在区间[－2,4]上的图象共有6个交点，有3对关于直线x＝1对称，因此，函数f(x)＝12|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和为3×2＝6.12345678910111213141516拓展冲刺练15.已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1根的个数为A.3B.5C.7D.9√2x－1，x≤1，|lnx－1|，x1，12345678910111213141516即ln(u－1)＝±1，解得u2＝1＋1e，u3＝1＋e.解析令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1.(1)当u≤1时，f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1；(2)当u1时，f(u)＝|ln(u－1)|＝1，如图所示，直线u＝1，u＝1＋1e，u＝1＋e与函数u＝f(x)的交点个数分别为3,2,2，所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋，g(x)＝－lnx.(1)若∀x∈R，f(x)≥0，求实数a的取值范围；1234567891011121314151614解根据题意知x2＋ax＋14≥0对任意实数x恒成立，所以Δ＝a2－4×14≤0，解得－1≤a≤1.(2)用min{m，n}表示m，n中的较小者.设h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，若h(x)有三个零点，求实数a的取值范围.1234567891011121314151612345678910111213141516解当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx0，所以h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)0，所以h(x)在(1，＋∞)上无零点；所以h(x)在(0,1]上有三个零点，f(1)＝54＋a，g(1)＝0，当f(1)≥g(1)时，54＋a≥0，得a≥－54，所以h(1)＝g(1)＝0，所以1是h(x)的一个零点；当f(1)g(1)时，a－54，所以h(1)＝f(1)0，所以1不是h(x)的一个零点；当x∈(0,1)时，g(x)＝－lnx0，由题意可知，1是h(x)的一个零点，且f(x)＝x2＋ax＋14在(0,1)上有两个零点，所以a≥－54，且Δ＝a2－4×1×140，0－a21，f0＝140