【新高考复习】1 第1讲　 平面向量的概念及线性运算 新题培优练

[基础题组练]1．(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且BD→＝12DA→，设CB→＝a，CA→＝b，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b解析：选B.因为BD→＝12DA→，所以BD→＝13BA→，所以CD→＝CB→＋BD→＝CB→＋13BA→＝CB→＋13(CA→－CB→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b，故选B.2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.12C.13D.23解析：选D.由题意易得AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，所以2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以λ－k＝0，λ＋1＝0.所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.4．如图，在△ABC中，AD→＝23AC→，BP→＝13BD→，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λμ的值为()A．－3B．3C．2D．－2解析：选B.因为AP→＝AB→＋BP→，BP→＝13BD→＝13(AD→－AB→)＝13AD→－13AB→＝13×23AC→－13AB→＝29AC→－13AB→，所以AP→＝AB→＋29AC→－13AB→＝23AB→＋29AC→；又AP→＝λAB→＋μAC→，所以λ＝23，μ＝29；所以λμ＝23×92＝3.故选B.5．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA→＋PB→＋PC→＝2AB→，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为()A．2B．3C．4D．8解析：选A.因为PA→＋PB→＋PC→＝2AB→＝2(PB→－PA→)，所以3PA→＝PB→－PC→＝CB→，所以PA→∥CB→，且方向相同，所以S△ABCS△PAB＝BCAP＝|CB→||PA→|＝3，所以S△PAB＝S△ABC3＝2.6．若|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________．解析：因为|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB→＋AC→|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB→＋AC→|＝23.答案：237．已知O为△ABC内一点，且2AO→＝OB→＋OC→，AD→＝tAC→，若B，O，D三点共线，则t的值为________．解析：设线段BC的中点为M，则OB→＋OC→＝2OM→.因为2AO→＝OB→＋OC→，所以AO→＝OM→，则AO→＝12AM→＝14(AB→＋AC→)＝14AB→＋1tAD→＝14AB→＋14tAD→.由B，O，D三点共线，得14＋14t＝1，解得t＝13.答案：138．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD→＝14AC→＋λAB→(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN→＝14AC→，AM→＝34AB→，经计算得AN＝AM＝3，AD＝33.答案：339.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.解：AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b.AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，求1n＋1m的值．解：设OA→＝a，OB→＝b，则OG→＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，则－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.[综合题组练]1．(应用型)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.2．(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝()A.12B．－12C．2D．－2解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD→＝tBC→＝t(AC→－AB→)．因为M是线段AD的中点，所以BM→＝12(BA→＋BD→)＝12(－AB→＋tAC→－tAB→)＝－12(t＋1)·AB→＋12tAC→.又BM→＝λAB→＋μAC→，所以λ＝－12(t＋1)，μ＝12t，所以λ＋μ＝－12.故选B.3．(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点，AB→＋PB→＋PC→＝0，|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，则△ABC的面积等于()A.3B．23C．33D．43解析：选B.因为AB→＋PB→＋PC→＝0，所以AB→＝－(PB→＋PC→)．由平行四边形法则可知，以PB→，PC→为边组成的平行四边形的一条对角线与AB→反向，且长度相等．因为|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，所以以PB→，PC→为边的平行四边形为菱形，且除BC外的对角线长为2，所以BC＝23，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝12AB·BC＝12×2×23＝23，故选B.4．(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC(λ≥0)，则动点P的轨迹一定过三角形ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：选D.如图，AD⊥BC，由于|AB→|·sinB＝|AC→|sinC＝|AD→|，所以OP→＝OA→＋λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC＝OA→＋λ|AD→|(AB→＋AC→)，所以OP→－OA→＝AP→＝λ|AD→|(AB→＋AC→)，因此点P在三角形ABC的中线所在的直线上，故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心．5.(一题多解)(创新型)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝12DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→，则()A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为3C.1m＋1n是定值，定值为2D.2m＋1n是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由AN→＝nAC→可得ACAN＝1n，所以AEEM＝ACCN＝1n－1，由BD＝12DC可得BMME＝12，所以AMAB＝nn＋n－12＝2n3n－1，因为AM→＝mAB→，所以m＝2n3n－1，整理可得2m＋1n＝3.法二：因为M，D，N三点共线，所以AD→＝λAM→＋(1－λ)·AN→.又AM→＝mAB→，AN→＝nAC→，所以AD→＝λmAB→＋(1－λ)·nAC→.又BD→＝12DC→，所以AD→－AB→＝12AC→－12AD→，所以AD→＝13AC→＋23AB→.比较系数知λm＝23，(1－λ)n＝13，所以2m＋1n＝3，故选D.6．(创新型)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求xy的值．解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以2λ（x－y）＝1，λ（x－2y）＝－2，所以x＝3λ，y＝52λ，则xy的值为65.