2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

大一轮复习讲义第四章三角函数、解三角形考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.sin2α＋cos2α＝1知识梳理(2)商数关系：.sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα______________________________余弦cosα______________________________正切tanα____________－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限－sinαπ2π2－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα1.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.微思考π22.同角三角函数关系式的常用变形有哪些？提示同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα等.题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()×√××(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()(4)若sin3π2－α＝13，则cosα＝－13.()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()题组二教材改编2.若sinα＝55，π2απ，则tanα等于A.－2B.2C.12D.－12√解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.3.已知tanα＝2，则3sinα－cosαsinα＋2cosα等于A.54B.－54C.53D.－53√解析原式＝3tanα－1tanα＋2＝3×2－12＋2＝54.4.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为.解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.－sin2α5.(多选)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值是A.2B.1C.－2D.0解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；题组三易错自纠√√当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，6.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为.－23∴sinθ－cosθ＝－23.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究解析因为cosα＝－35且α∈(0，π)，1.(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－35，则tanα等于A.34B.－34C.43D.－43√所以sinα＝1－cos2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝－43.故选D.题型一同角三角函数基本关系式的应用自主演练2.已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为.－105解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，3.若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为.－3故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.4.已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，则tanθ＝.－125解析方法一由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0，所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1713，联立sinθ＋cosθ＝713，sinθ－cosθ＝1713，解得sinθ＝1213，cosθ＝－513，所以tanθ＝－125.方法二因为sinθ＋cosθ＝713，所以sinθcosθ＝－60169，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－601690，θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0.所以sinθ＝1213，cosθ＝－513.所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.方法三由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切，得tanθtan2θ＋1＝－60169，解得tanθ＝－125或tanθ＝－512.即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝7130，sinθcosθ＝－601690，所以θ∈π2，3π4，所以tanθ＝－125.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.思维升华sinαcosα例1(1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα－2021π2等于A.－45B.－35C.35D.45√解析由题意知sinα＝45，cosα＝35，∴sinα－2021π2＝sinα－π2＝－cosα＝－35.题型二诱导公式的应用师生共研(2)已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α，则f－25π3的值为.解析因为f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α＝－sinα－cosα－cosα－sinαcosα＝cosα，12所以f－25π3＝cos－25π3＝cosπ3＝12.(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.思维升华跟踪训练1(1)已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于A.513B.1213C.－513D.－1213√解析因为sinα＋π3＝1213，所以cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1213.(2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋α·tan(π＋α)等于A.－1517B.1517C.－817D.817√解析sinπ2＋α·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝1－－15172＝817，即sinπ2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D.例2(1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是A.355B.377C.31010D.13√题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用师生共研解析由已知得3sinβ－2tanα＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0.消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝910，则sinα＝31010(α为锐角).(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.解由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.思维升华跟踪训练2(1)(2021·潍坊调研)已知3sin33π14＋α＝－5cos5π14＋α，则tan5π14＋α等于A.－53B.－35C.35D.53√解析由3sin33π14＋α＝－5cos5π14＋α，得sin5π14＋α＝－53cos5π14＋α，所以tan5π14＋α＝sin5π14＋αcos5π14＋α＝－53cos5π14＋αcos5π14＋α＝－53.(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2021)的值为.－3解析因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.KESHIJINGLIAN课时精练1.sin1050°等于12345678910111213141516基础保分练A.12B.－12C.32D.－32√解析sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－12.123456789101112131415162.已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα等于A.1517B.－1517C.817D.－817√解析因为tanα＝－815，所以sinαcosα＝－815，所以cosα＝－158sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝64289，又α是第四象限角，所以sinα＝－817.123456789101112131415163.(202