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[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．(2019·广东中山模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为()A．10万元B．12万元C．15万元D．30万元解析：选D.9时至10时的销售额频率为0.1，因此9时至14时的销售总额为30.1＝30(万元)，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.60.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.4．(2019·甘肃天水模拟)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x－甲，x－乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则()A．x－甲x－乙，σ甲σ乙B．x－甲x－乙，σ甲σ乙C．x－甲x－乙，σ甲σ乙D．x－甲x－乙，σ甲σ乙解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知x－甲x－乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲σ乙．5．(2019·昆明调研)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图．根据图中信息，下列结论正确的是()A．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高B．1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高C．2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值D．2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值解析：选D.由题图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确，故选D.6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）7＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.答案：67．(2019·南宁模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．解析：由题图甲可知学生总人数是10000，样本容量为10000×2%＝200，抽取的高中生人数是2000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.答案：200208．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝5＋15＋250.75＝60.答案：609．某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a，b，c的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P＝162200＝81100＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为x－＝16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62200＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．解：(1)A的中位数是83＋852＝84，B的中位数是84＋822＝83.(2)派B参加比较合适．理由如下：x－B＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x－A＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，s2B＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2A＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，因为x－A＝x－B，但s2Bs2A，说明B稳定，派B参加比较合适．(3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)，A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－310＝710.[综合题组练]1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是()A．A县B．B县C．A县、B县两个地区相等D．无法确定解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.3．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为________．解析：由茎叶图可知0≤x≤9且x∈N，中位数是17＋10＋x2＝27＋x2，这位运动员这8场比赛的得分平均数为18(7＋8＋7＋9＋x＋3＋1＋10×4＋20×2)＝18(x＋115)，由18(x＋115)≥27＋x2，得3x≤7，即x＝0，1，2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为310.答案：3104．(2019·郑州质量预测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则1a＋4b的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以1a＋4b＝(1a＋4b)×(a4＋b4)＝14(1＋ba＋4ab＋4)≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b＝2a时取等号)．故1a＋4b的最小值为94.答案：945．(应用型)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.0001×1000×2000＋0.0001×1000×3000＋0.0002×1000×4000＋0.0003×1000×5000＋0.0002×1000×6000＋0.0001×1000×7000＝4700(元)．(2)抽样比为5100＝120，从工资在[1500，4500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×120＝2(人)，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4500，7500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×120＝3(人)，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2