【新高考复习】3 第3讲　合情推理与演绎推理　新题培优练

[基础题组练]1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．121B．123C．231D．211解析：选B.法一：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z20⇒z1z2”．其中类比得到的结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．3．(2019·广西柳州模拟)给出以下数对序列：(1，1)(1，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)……记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3，2)，则anm＝()A．(m，n－m)B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1)D．(m，n－m＋1)解析：选D.由前4行的特点，归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)．故选D.4．(2019·福建莆田质量检测)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二个符号叫地支．如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为()A．乙丑年B．丙寅年C．丁卯年D．戊辰年解析：选C.记公元1984年为第一年，则公元2047年为第64年，即天干循环了六次，第四个为“丁”．地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047年农历为丁卯年，故选C.5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB→⊥AB→时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．在“黄金双曲线”中，因为FB→⊥AB→，所以FB→·AB→＝0.又FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2，得e2－1＝e，解得e＝5＋12e＝1－52舍去.6．观察下列式子：1×22，1×2＋2×392，1×2＋2×3＋3×48，1×2＋2×3＋3×4＋4×5252，…，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n个不等式是1×2＋2×3＋…＋n·（n＋1）（n＋1）22.答案：1×2＋2×3＋…＋n·（n＋1）（n＋1）227.祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(πb2a－13πb2a)＝43πb2a.答案：43πb2a8．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝（3x1＋3）＋（3x2＋3）（3x1＋3）（3x2＋3）＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3（3x1＋3x2）＋3＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2）＋2×3＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2＋23）＝33.9．给出下面的数表序列：表1表2表3113135448…12其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574812122032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．[综合题组练]1．(应用型)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A，B两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的人数最多是3.2．(2019·安徽“江淮十校”联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝()A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C.1＋11＋11＋…＝x，即1＋1x＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝1＋52，x2＝1－52()舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.3．(2019·辽宁沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()A．2017×22016B．2018×22015C．2017×22015D．2018×22016解析：选B.从给出的数表可以看出，该数表每行的数都构成等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，……，第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1，3＝3×20，8＝4×21，20＝5×22，48＝6×23，……，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015.故选B.4．(应用型)(2019·吉林长春质监)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4日．答案：8月4日5．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S△OBCS△ABC＋S△OCAS△ABC＋S△OABS△ABC＝S△ABCS△ABC＝1.请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体V­BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：结论：在四面体V­BCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．则OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O­BCD与V­BCD中，设其高分别为h1，h，则OEVE＝h1h＝13S△BCD·h113S△BCD·h＝VO­BCDVV­BCD.同理，OFDF＝VO­VBCVD­VBC；OGBG＝VO­VCDVB­VCD；OHCH＝VO­VBDVC­VBD，所以OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝VO­BCD＋VO­VBC＋VO­VCD＋VO­VBDVV­BCD＝VV­BCDVV­BCD＝1.6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，x＋y2∈D均满足fx＋y2≥12[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.解：(1)对于fx＋y2≥12[f(x)＋f(y)]，令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．(2)证明：gx1＋x22－12[g(x1)＋g(x2)]＝－（x1＋x2）24＋x21＋x222＝（x1－x2）24≥0，当且仅当x1＝x2时取等号，所以gx1＋x22≥12[g(x1)＋g(x2)]，所以g(x)∈M.