【新高考复习】4 第4讲　直接证明与间接证明　新题培优练

[基础题组练]1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac3a”索的因应是()A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0解析：选C.b2－ac3a⇔b2－ac3a2⇔(a＋c)2－ac3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a20⇔－2a2＋ac＋c20⇔2a2－ac－c20⇔(a－c)(2a＋c)0⇔(a－c)(a－b)0.故选C.3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab2b2D.aba＋1b＋1解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．4．已知函数f(x)＝12x，a，b是正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A.因为a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝12x在R上是减函数，所以fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b，即A≤B≤C.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0.6．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然67，所以ab.答案：ab7．已知ab0，则①1a1b；②ac2bc2；③a2b2；④ab，其中正确的序号是________．解析：对于①，因为ab0，所以ab0，1ab0，a·1abb·1ab，即1b1a.故①正确；当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．答案：①③④8．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1cn.答案：cn＋1cn9．已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0，2a＋b0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：1x－11y－11z－18.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以1x－1＝1－xx＝y＋zx2yzx，①1y－1＝1－yy＝x＋zy2xzy，②1z－1＝1－zz＝x＋yz2xyz，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得1x－11y－11z－18.[综合题组练]1．已知a，b，c∈R，若ba·ca1且ba＋ca≥－2，则下列结论成立的是()A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由ba·ca1知ba与ca同号，若ba0且ca0，不等式ba＋ca≥－2显然成立，若ba0且ca0，则－ba0，－ca0，－ba＋－ca≥2－ba·－ca2，即ba＋ca－2，这与ba＋ca≥－2矛盾，故ba0且ca0，即a，b，c同号．2．在等比数列{an}中，“a1a2a3”是“数列{an}递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1qa1q2得若a10，则1qq2，即q1，此时，显然数列{an}是递增数列，若a10，则1qq2，即0q1，此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1a2a3.故“a1a2a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件．3．(创新型)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a＝12，b＝23，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③4．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．解析：法一(补集法)：令f（－1）＝－2p2＋p＋1≤0，f（1）＝－2p2－3p＋9≤0，解得p≤－3或p≥32，故满足条件的p的取值范围为－3，32.法二(直接法)：依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－12＜p＜1或－3＜p＜32，故满足条件的p的取值范围是－3，32.答案：－3，325．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2.证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：1a是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c的大小；(3)证明：－2b－1.解：(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，因为f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，所以x2＝1a1a≠c，所以1a是f(x)＝0的一个根．(2)假设1ac，又1a0，由0xc时，f(x)0，知f1a0与f1a＝0矛盾，所以1a≥c，又因为1a≠c，所以1ac.(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，所以b＝－1－ac.又a0，c0，所以b－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－b2a＝x1＋x22x2＋x22＝x2＝1a，即－b2a1a.又a0，所以b－2，所以－2b－1.