【新高考复习】5 第5讲　数学归纳法　新题培优练

[基础题组练]1．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝422＋1＝5，当n＝3时，23＝832＋1＝10，当n＝4时，24＝1642＋1＝17，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，当n＝6时，26＝6462＋1＝37，故起始值n0应取5.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是()A．若f(1)2成立，则f(10)11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.所以，左端应在n＝k的基础上加上12k＋1－12k＋2.4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.5．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.故左边增加了2k项．6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)时，第一步应验证的不等式是________．解析：由n∈N*，n1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋12＋132.答案：1＋12＋1327．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1（2k＋1）（2k＋2），故填1（2k＋1）（2k＋2）.答案：1（2k＋1）（2k＋2）8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n＋1）212－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案：122＋132＋…＋1（k＋1）2＋1（k＋2）212－1k＋39．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n（n＋1）2.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×（1＋1）2＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·k（k＋1）2.那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·k（k＋1）2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k＋12[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·（k＋1）（k＋2）2.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n（n＋1）2.10．已知整数p1，证明：当x－1且x≠0时，(1＋x)p1＋px.证明：用数学归纳法证明．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x－1且x≠0时，对一切整数p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立．[综合题组练]1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立．证明：①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.因为左边右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12（k＋1）－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2（k＋1）＋12.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．2．已知数列{xn}满足x1＝12，且xn＋1＝xn2－xn(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0xn1；(2)设an＝1xn，求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝12∈(0，1)，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，即xk∈(0，1)，则当n＝k＋1时，xk＋1＝xk2－xk，因为xk∈(0，1)，所以2－xk0，即xk＋10.又因为xk＋1－1＝2（xk－1）2－xk0，所以0xk＋11.综合①②可知0xn1.(2)由xn＋1＝xn2－xn可得1xn＋1＝2－xnxn＝2xn－1，即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)．令bn＝an－1，则bn＋1＝2bn，又b1＝a1－1＝1x1－1＝1，所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.3．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)可知，对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.