[基础题组练]1.(2019·辽宁五校联考)sin1470°=()A.32B.12C.-12D.-32解析:选B.sin1470°=sin(1440°+30°)=sin(360°×4+30°)=sin30°=12,故选B.2.若角α的终边落在第三象限,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为()A.3B.-3C.1D.-1解析:选B.因为α是第三象限角,故sinα0,cosα0,所以原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=-1-2=-3.3.(2019·贵阳模拟)已知f(x)=tanx+1tanx,则fπ12的值为()A.23B.433C.2D.4解析:选D.因为f(x)=tanx+1tanx=sinxcosx+cosxsinx=1sinxcosx=2sin2x,所以fπ12=2sinπ6=4,故选D.4.若sin(π-θ)+cos(θ-2π)sinθ+cos(π+θ)=12,则tanθ=()A.1B.-1C.3D.-3解析:选D.因为sin(π-θ)+cos(θ-2π)sinθ+cos(π+θ)=sinθ+cosθsinθ-cosθ=12,所以2(sinθ+cosθ)=sinθ-cosθ,所以sinθ=-3cosθ,所以tanθ=-3.5.(2019·黄冈模拟)已知sin(π+α)=-13,则tan(π2-α)的值为()A.22B.-22C.24D.±22解析:选D.因为sin(π+α)=-13,所以sinα=13,则cosα=±223,所以tan(π2-α)=sin(π2-α)cos(π2-α)=cosαsinα=±22.故选D.6.(2019·山西晋城一模)若|sinθ|+|cosθ|=233,则sin4θ+cos4θ=()A.56B.1718C.89D.23解析:选B.|sinθ|+|cosθ|=233,两边平方得,1+|sin2θ|=43,所以|sin2θ|=13,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12×132=1718,故选B.7.(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈0,π2,且12sinθ+12cosθ=35,则tanθ=()A.34B.43C.±34D.34或43解析:选D.依题意得12(sinθ+cosθ)=35sinθcosθ,令sinθ+cosθ=t,因为θ∈0,π2,所以t0,则原式化为12t=35·t2-12,解得t=75t=-57舍去,故sinθ+cosθ=75,则sinθcosθ=1225,即sinθcosθsin2θ+cos2θ=1225,即tanθ1+tan2θ=1225,12tan2θ-25tanθ+12=0,解得tanθ=34或43.8.(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角,且cosα+π6=35,则cosα+3π2=________.解析:因为0απ2,所以π6α+π62π3,又cosα+π6=35,所以sinα+π6=45,则cosα+3π2=sinα=sinα+π6-π6=sinα+π6cosπ6-cosα+π6sinπ6=45×32-35×12=43-310.答案:43-3109.(2019·兰州市诊断考试)已知sinα+cosα=75,sinαcosα,则tanα=________.解析:法一:由题意,将已知等式两边平方并化简可得sinαcosα=1225,因为sinαcosα,sin2α+cos2α=1,所以sinα=45,cosα=35,所以tanα=43.法二:由题意,将已知等式两边平方并化简可得sinαcosα=1225,所以sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=1225,即12tan2α-25tanα+12=0,解得tanα=43或tanα=34,因为sinαcosα,所以tanα=43.答案:4310.(2019·河南安阳一模)若1+cosαsinα=3,则cosα-2sinα=________.解析:由已知得sinα≠0,且3sinα=1+cosα0,即cosα=3sinα-1,则cos2α=1-sin2α=(3sinα-1)2,解得sinα=35,所以cosα-2sinα=3sinα-1-2sinα=sinα-1=-25.答案:-2511.已知sin(3π+θ)=13,求cos(π+θ)cosθ[cos(π-θ)-1]+cos(θ-2π)sinθ-3π2cos(θ-π)-sin3π2+θ的值.解:因为sin(3π+θ)=-sinθ=13,所以sinθ=-13,所以原式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cos(2π-θ)-sin3π2-θcos(π-θ)+cosθ=11+cosθ+cosθ-cos2θ+cosθ=21-cos2θ=2sin2θ=2-132=18.12.已知在△ABC中,sinA+cosA=15.(1)求sinAcosA的值;(2)求tanA的值.解:(1)因为sinA+cosA=15,所以(sinA+cosA)2=125,即1+2sinAcosA=125,故sinAcosA=-1225.(2)在△ABC中,sinA0,又sinAcosA0,所以cosA0,所以sinA-cosA0,所以sinA-cosA=(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+2425=75,①又sinA+cosA=15,②由①②知,sinA=45,cosA=-35,因此tanA=sinAcosA=-43.[综合题组练]1.(创新型)(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y=3x-5的倾斜角,若A(cosθ,sinθ),B(2cosθ+sinθ,5cosθ-sinθ),则直线AB的斜率为()A.3B.-4C.13D.-14解析:选D.由题意知tanθ=3,kAB=5cosθ-sinθ-sinθ2cosθ+sinθ-cosθ=5-2tanθ1+tanθ=-14.故选D.2.(创新型)(2019·湖北部分重点中学联考)已知θ∈(0,π),且sinθ+cosθ=m,m∈(0,1),则tanθ的可能取值为()A.-3B.3C.-13D.13解析:选A.由m∈(0,1),得sinθ+cosθ0,所以θ∈0,3π4.又因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=m2,m∈(0,1),从而得2sinθcosθ0,得θ∈π2,π.综上可得θ∈π2,3π4,则tanθ-1,所以可能的取值为-3,故选A.3.(应用型)若方程cos2x-sinx+a=0在0,π2内有解,则a的取值范围是________.解析:方程cos2x-sinx+a=0,即sin2x+sinx-a-1=0.由于x∈0,π2,所以0sinx≤1.设sinx=t∈(0,1],则问题转化为方程t2+t-a-1=0在(0,1]上有解.设f(t)=t2+t-1-a,其图象是开口向上的抛物线,对称轴t=-12在区间(0,1]的左侧,图象如图所示.因此f(t)=0在(0,1]上有解,当且仅当f(0)0,f(1)≥0,即-1-a0,1-a≥0,解得-1a≤1,故a的取值范围是(-1,1].答案:(-1,1]4.(应用型)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根分别是sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:(1)sin2θsinθ-cosθ+cosθ1-tanθ的值;(2)m的值;(3)方程的两根及此时θ的值.解:(1)原式=sin2θsinθ-cosθ+cosθ1-sinθcosθ=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ=sin2θ-cos2θsinθ-cosθ=sinθ+cosθ.由条件知sinθ+cosθ=3+12,故sin2θsinθ-cosθ+cosθ1-tanθ=3+12.(2)由已知,得sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=m2,又1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2,可得m=32.(3)由sinθ+cosθ=3+12,sinθcosθ=34,得sinθ=32,cosθ=12或sinθ=12,cosθ=32.又θ∈(0,2π),故θ=π3或θ=π6.