【新高考复习】4 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换　新题培优练

[基础题组练]1．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．－35B.335C.319D.37解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan（α＋80°）－tan60°1＋tan（α＋80°）tan60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.2．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4等于()A.16B.13C.12D.23解析：选A.cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2，又sin2α＝23，所以原式＝1－232＝16，故选A.3．(2019·郑州模拟)已知cosx－π6＝13，则cosx＋cosx－π3＝()A.32B.3C.12D.33解析：选D.cosx＋cosx－π3＝cosx－π6＋π6＋cosx－π6－π6＝2cosx－π6cosπ6＝33，故选D.4．(2019·临川模拟)已知cosπ6－α＝33，则sin5π6－2α的值为()A.13B．－13C.23D．－23解析：选B.sin5π6－2α＝sinπ2＋π3－2α＝cosπ3－2α＝cos2π6－α＝2cos2π6－α－1＝2×332－1＝－13.故选B.5．(2019·安徽淮南一模)设α∈0，π2，β∈0，π4，且tanα＝1＋sin2βcos2β，则下列结论中正确的是()A．α－β＝π4B．α＋β＝π4C．2α－β＝π4D．2α＋β＝π4解析：选A.tanα＝1＋sin2βcos2β＝（sinβ＋cosβ）2cos2β－sin2β＝cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝1＋tanβ1－tanβ＝tanβ＋π4.因为α∈0，π2，β＋π4∈π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.6．若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A．－118B.118C．－1718D.1718解析：选C.由3cos2α＝sinπ4－α可得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，又由α∈π2，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝22，所以1＋2sinα·cosα＝118，故sin2α＝－1718.故选C.7．(2019·平顶山模拟)已知sinα＝－45α∈3π2，2π，若sin（α＋β）cosβ＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C．－613D．－136解析：选A.因为sinα＝－45，α∈3π2，2π，所以cosα＝35.由sin（α＋β）cosβ＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613.8.cos10°＋3sin10°1－cos80°的值为________．解析：原式＝212cos10°＋32sin10°2sin240°＝2sin40°2sin40°＝2.答案：29．设α是第四象限角，若sin3αsinα＝135，则tan2α＝________．解析：sin3αsinα＝sin（α＋2α）sinα＝sinαcos2α＋cosαsin2αsinα＝cos2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝135，解得cos2α＝910.因为α是第四象限角，所以cosα＝31010，sinα＝－1010，所以sin2α＝2sinαcosα＝－35，cos2α＝2cos2α－1＝45，所以tan2α＝－34.答案：－3410．若sinαcosβ＝34，则cosαsinβ的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝34＋cosαsinβ∈[－1，1]，所以－74≤cosαsinβ≤14.同理sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝34－cosαsinβ∈[－1，1]，所以－14≤cosαsinβ≤74.综上可得，－14≤cosαsinβ≤14.答案：－14，1411．已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；(2)sin2α－π4的值．解：(1)sinα＋π4＝210，即sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝210，化简得sinα＋cosα＝15，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝－35或cosα＝45，因为α∈π2，π.所以cosα＝－35.(2)因为α∈π2，π，cosα＝－35，所以sinα＝45，则cos2α＝1－2sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝－2425，所以sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－17250.12．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)法一：因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.法二：因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.所以4α＋π4＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π16＋kπ2，k∈Z.又因为α∈π2，π，所以当k＝1，即α＝9π16时，符合题意．故α＝9π16.[综合题组练]1．(2019·六安模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A.因为α∈π4，π，β∈π，3π2，所以2α∈π2，2π.又0sin2α＝5512，所以2α∈5π6，π，即α∈5π12，π2，所以β－α∈π2，13π12，所以cos2α＝－1－sin22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，所以cos(β－α)＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22.又α∈5π12，π2，β∈π，3π2，所以α＋β∈17π12，2π，所以α＋β＝7π4，故选A.2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知a24＋b2＝1，则|acosθ＋2bsinθ|的最大值为()A．1B.233C．2D．23解析：选C.由a24＋b2＝1得a2＋4b2＝4.由辅助角公式可得|acosθ＋2bsinθ|＝a2＋4b2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.3．(应用型)在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为________．解析：由题意知cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，得tanA＝tanBtanC．又因为cosA＝13cosBcosC，且cosA＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC，所以sinBsinC＝14cosBcosC，所以tanBtanC＝14.又tanB＋tanC＝tan(B＋C)(1－tanBtanC)＝－tanA(1－tanBtanC)，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＝196.答案：1964．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，3)，所以sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33.所以sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)因为f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，所以g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，因为0≤x≤2π3，所以－π6≤2x－π6≤76π，所以－12≤sin2x－π6≤1，所以－2≤2sin2x－π6－1≤1，所以g(x)在区间0，2π3上的值域为[－2，1]．