【新高考复习】5 第4讲　三角函数的图象与性质　新题培优练

[基础题组练]1．函数y＝|cosx|的一个单调增区间是()A．[－π2，π2]B．[0，π]C．[π，3π2]D．[3π2，2π]解析：选D.将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.2．关于函数y＝tan(2x－π3)，下列说法正确的是()A．是奇函数B．在区间(0，π3)上单调递减C．(π6，0)为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π解析：选C.函数y＝tan(2x－π3)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，π3)上单调递增，B错；最小正周期为π2，D错；由2x－π3＝kπ2，k∈Z得x＝kπ4＋π6，当k＝0时，x＝π6，所以它的图象关于(π6，0)对称，故选C.3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，所以2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.所以φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)对任意x都有f(π6＋x)＝f(π6－x)，则f(π6)的值为()A．2或0B．－2或2C．0D．－2或0解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(π6＋x)＝f(π6－x)，所以该函数图象关于直线x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.5．(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)的图象的一个对称中心为(π3，0)，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是()A．1B.π2C．2D．π解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)的图象的一个对称中心为(π3，0)，所以π3ω＋π3＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即T2＝πω＝π2.6．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，0≤φ≤π)是奇函数，且在－π4，π3上单调递减，则ω的最大值是()A.12B.23C.32D．2解析：选C.因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝π2，所以f(x)＝cosωx＋π2＝－sinωx，因为f(x)在－π4，π3上单调递减，所以－π4×ω≥－π2且π3×ω≤π2，解得ω≤32，又ω0，故ω的最大值为32.7．(2019·高考北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．解析：因为f(x)＝sin22x＝1－cos4x2，所以f(x)的最小正周期T＝2π4＝π2.答案：π28．(2019·昆明调研)已知函数f(x)＝sinωx的图象关于点(2π3，0)对称，且f(x)在[0，π4]上为增函数，则ω＝________.解析：将点(2π3，0)代入f(x)＝sinωx，得sin2π3ω＝0，所以2π3ω＝nπ，n∈Z，得ω＝32n，n∈Z.设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x)在[0，π4]上为增函数，所以ω0，T4≥π4，所以T≥π，即2πω≥π，所以ω≤2.所以n＝1，ω＝32.答案：329．已知函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝k＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f(x)的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π510．(2019·成都模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋π3)．若x1x20，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为________．解析：如图，画出f(x)＝sin(2x＋π3)的大致图象，记M(0，32)，N(π6，32)，则|MN|＝π6.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x1|∈(π6，＋∞)．答案：(π6，＋∞)11．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x－2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4.(1)令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)因为x∈π4，3π4，所以3π4≤2x＋π4≤7π4，所以－1≤sin2x＋π4≤22，所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.12．(2019·安徽池州一模)已知函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx－32(ω0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)22，求x的取值集合．解：(1)f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx－32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx－32＝32cos2ωx＋12sin2ωx＝sin(2ωx＋π3)．因为周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，故f(x)＝sin(2x＋π3)．由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋kπ，7π12＋kπ]，k∈Z.(2)f(x)22，即sin(2x＋π3)22，由正弦函数的性质得π4＋2kπ2x＋π33π4＋2kπ，k∈Z，解得－π24＋kπx5π24＋kπ，k∈Z，则x的取值集合为{x|－π24＋kπx5π24＋kπ，k∈Z}．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间π2，π单调递增③f(x)在[－π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当π2xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，所以f(x)在π2，π单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.优解：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当π2xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，所以f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除A；因为y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在0，π10单调递增④ω的取值范围是125，2910其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④解析：选D.如图，根据题意知，xA≤2πxB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2πxB，有24π5ω≤2π29π5ω，得125≤ω2910，所以④正确；当x∈(0，π10)时，π5ωx＋π5ωπ10＋π5，因为125≤ω2910，所以ωπ10＋π549π100π2，所以函数f(x)在(0，π10)单调递增，所以③正确．3．(应用型)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω0)，f(π6)＋f(π2)＝0，且f(x)在区间(π6，π2)上递减，则ω＝________.解析：因为f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sin(ωx＋π3)，由π2＋2kπ≤ωx＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6ω＋2kπω≤x≤7π6ω＋2kπω，因为f(x)在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω＋2kπω，7π6ω＋2kπω]，从而有π6≥π6ω＋2kπωπ2≤7π6ω＋2kπω解得12k＋1≤ω≤7＋12k3，k∈Z，所以1≤ω≤73，因为f(π6)＋f(π2)＝0，所以x＝π6＋π22＝π3为f(x)＝2sin(ωx＋π3)的一个对称中心的横坐标，所以π3ω＋π3＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，又1≤ω≤73，所以ω＝2.答案：24．(创新型)(2019·兰州模拟)已知a0，函数f(x)＝－2asin(2x＋π6)＋2a＋b，当x∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f(x＋π2)且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．解：(1)因为x∈[0，π2]，所以2x＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x＋π6)∈[－12，1]，所以－2asin(2x＋π6)∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋π6)－1，g(x)＝f(x＋π2)＝－4sin(2x＋7π6)－1＝4sin(2x＋π6)－1，又由lgg(x)0，得g(x)1，所以4sin(2x＋π6)－11，所以sin(2x＋π6)12，所以2kπ＋π62x＋π62kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π62x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπx≤kπ＋π6，k∈Z，所以g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π6]，k∈Z.又因为当2kπ＋π22x＋π62kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6xkπ＋π3，k∈Z.所以g(x)的单调减区间为(kπ＋π6，kπ＋π3)，k∈Z.所以g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π6]，k∈Z，单调减区间为(kπ＋π6，kπ＋π3)，k∈Z.