【新高考复习】6 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·豫南九校联考)将函数y＝sin(x－π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为()A．y＝sin(x2－5π24)B．y＝sin(x2－π3)C．y＝sin(x2－5π12)D．y＝sin(2x－7π12)解析：选B.函数y＝sin(x－π4)经伸长变换得y＝sin(x2－π4)，再作平移变换得y＝sin[12(x－π6)－π4]＝sin(x2－π3)．2．(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向右平移5π12个单位长度B．向左平移5π12个单位长度C．向右平移5π6个单位长度D．向左平移5π6个单位长度解析：选B.因为y＝sin2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2，y＝cos2x＋π3＝cos2x＋5π12－π2，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y＝cos2x＋π3的图象，故选B.3．(2019·广州调研)将函数y＝2sin(x＋π3)cos(x＋π3)的图象向左平移φ(φ0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.根据题意可得y＝sin(2x＋2π3)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin(2x＋2π3＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ2－π3(k∈Z)，又φ0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝π6，故选B.4．(2019·郑州质量预测)若将函数f(x)＝12sin(2x＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A．[kπ＋π4，kπ＋3π4](k∈Z)B．[kπ－π4，kπ＋π4](k∈Z)C．[kπ－2π3，kπ－π6](k∈Z)D．[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)解析：选A.将函数f(x)＝12sin(2x＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)＝12sin[2(x＋π3)＋π3]＝12sin(2x＋π)＝－12sin2x的图象，令π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ(k∈Z)，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ＋π4，kπ＋3π4](k∈Z)，故选A.5．(2019·江西赣州质检)设ω0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－πφπ)的图象向左平移π3个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为()A．ω＝2，φ＝2π3B．ω＝2，φ＝－π3C．ω＝1，φ＝－π3D．ω＝1，φ＝2π3解析：选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(－πφπ)的图象向左平移π3个单位后可得y＝sin(ωx＋πω3＋φ)．由函数的图象可知，T2＝π3－(－π6)＝π2，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ＋2π3)．由图知当y＝－1时，x＝12×(π3－π6)＝π12，所以函数的图象过(π12，－1)，所以sin(5π6＋φ)＝－1.因为－πφπ，所以φ＝2π3.故选A.6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于()A.22B.2C.2＋2D．1解析：选C.由题图知A＝2，T2＝6－2＝4，所以T＝8，则ω＝2π8＝π4.所以y＝2sin(π4x＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，所以2sin(π4×2＋φ)＝2，所以π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，则φ＝2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin(π4x)．因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝2f(1)＋2f(2)＋…＋2f(8)＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝2＋2，故选C.7．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，已知x1，x2∈(π2，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.解析：由题意可得A＝2，34T＝34×2πω＝11π12－π6＝34π，所以ω＝2.当x＝π6时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，据此可得φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，因为0φπ，令k＝0可得φ＝π6，则f(x)＝2sin(2x＋π6)．当x∈(π2，π)时，7π62x＋π613π6，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝2π3.由x1，x2∈(π2，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，可得x1＋x2＝4π3，则f(4π3)＝2sin(2×4π3＋π6)＝2sin17π6＝2×12＝1.答案：18．(2019·无锡模拟)函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x－π3的图象重合，则φ＝________．解析：把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，得到y＝cos(2x－π＋φ)的图象，与函数y＝sin2x－π3的图象重合，则cos(2x－π＋φ)＝sin2x－π3，即sin2x－π2＋φ＝sin2x－π3，所以－π2＋φ＝－π3，则φ＝π6，答案：π69．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，(ω0，|φ|π2)，若f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ＝________.解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得T4π2.又f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，由题意得T4＝11π8－5π8＝3π4，所以T＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin(23x＋φ)．由f(5π8)＝2sin(23×5π8＋φ)＝2⇒sin(5π12＋φ)＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又|φ|π2，取k＝0，得φ＝π12.答案：π1210．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f(x)的最小正周期为2；②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－12；③f(x)在(2k－14，2k＋34)，k∈Z上是减函数；④f(x)的最大值为A.则正确的结论为________．(填序号)解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(54－14)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(14，0)和(54，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝12(14＋54)＋kT2＝34＋k(k∈Z)，故直线x＝－12不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T4＋kT≤x≤14＋T4＋kT(k∈Z)，即2k－14≤x≤2k＋34(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A0，则最大值是A，若A0，则最大值是－A，故④不正确．答案：①③11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象过点P(π12，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4(π3－π12)＝π，所以ω＝2ππ＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P(π12，0)，所以5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|π2，所以φ＝－π6，所以y＝5sin(2x－π6)．(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．12．设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0ω3.已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.由题设知fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3，当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－32.[综合题组练]1．(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m0)个单位长度以后得到的图象与函数y＝ksinx·cosx(k0)的图象重合，则k＋m的最小值是()A．2＋π4B．2＋3π4C．2＋5π12D．2＋7π12解析：选A.将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos2x的图象向左平移m(m0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)＝sin2x－π2＋2m(m0)，平移后得到的图象与y＝ksinxcosx＝k2sin2x(k0)的图象重合，所以k2＝1－π2＋2m＝2nπ（n∈Z），所以k＝2，m＝nπ＋π4(n∈Z)，又m0，所以m的最小值为π4，故k＋m的最小值为2＋π4，故选A.2．(创新型)(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f(x)＝3sin(ωx＋5π6)(ω0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为10，则f(－1)＝()A．－1B．1C．－32D.32解析：选D.由题设并结合图形可知，AB＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f(－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sinπ3＝32.3．(应用型)若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos2x的图象总在函数g(x)＝－7－43sinx的图象的上方，则m－n的最大值为()A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：选D.根据题意，函数f(x)＝2cos2x的图象总在函数g(x)＝－7－43sinx的图象的上方可以转化为2cos2x－7－43sinx恒成立，即2cos2x＋7＋43sinx0.根据二倍角公式化简为4sin2x－43sinx－90⇒－32sinx332.因为sinx∈[－1，1]，所以sinx∈(－32，1]．在一个周期[－π2，3π2]上画出图象可得x∈(－π3，4π3)，所以(m－n)max＝5π3.4．(应用型)(2019·济宁模拟)已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω0.(1)若y＝f(x)在[－π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围．(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．①求函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象；②对任意a∈R，求函数y＝g(x)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．解：(1)因为在[－π4，2π3]上，函数f(x)＝2sinωx单调递增，所以ω·2π3≤π2，求得ω≤34，所以ω的取值范围为(0，34]．(2)①令ω＝2，将函数y＝f(x)＝2sin2x的图象向