【新高考复习】7 第6讲　正弦定理和余弦定理　新题培优练

[基础题组练]1．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝()A．1∶1∶3B．2∶2∶3C．1∶1∶2D．1∶1∶4解析：选A.△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以A＝π6，B＝π6，C＝23π，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶12∶32＝1∶1∶3.2．(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D.因为2bcosC＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sinBcosC＝2sinA＋sinC＝2sin(B＋C)＋sinC＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinC，即2cosBsinC＝－sinC，又sinC≠0，所以cosB＝－12，又0Bπ，所以B＝2π3，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12absinC＝a2＋b2－c24，所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC，所以在△ABC中，C＝π4.4．(2019·江西赣州月考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()A.2B.3C.32D．2解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝12acsinB＝32，故选C.5．在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，所以cosCcosB＝bc或cosCcosB＝0，即C＝90°或cosCcosB＝bc.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当cosCcosB＝bc时，由正弦定理，得bc＝sinBsinC，所以cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.6．(2019·吉林四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝332且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于()A．5＋7B．12C．10＋7D．5＋27解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sinB＝3sinC，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝332＝12bc·sinA，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，所以a＝7，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7，故选A.7．(2019·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(acosC－ccosA)＝b，B＝60°，则A的大小为________．解析：由正弦定理及3(acosC－ccosA)＝b，得3(sinA·cosC－sinCcosA)＝sinB，所以3sin(A－C)＝sinB，由B＝60°，得sinB＝32，所以sin(A－C)＝12.又A－C＝120°－2C∈(－120°，120°)，所以A－C＝30°，又A＋C＝120°，所以A＝75°.答案：75°8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.答案：639．(2019·山东菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－b2＝0，a2＝72bc，bc，则bc＝________．解析：由acosB－c－b2＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－sinB2＝0.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－sinB2－cosAsinB＝0，所以cosA＝－12，即A＝2π3.由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又bc，所以bc＝2.答案：210．(2019·昆明质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＝14，c＝3，且acosA＝bcosB，则△ABC的面积等于________．解析：因为acosA＝bcosB，由正弦定理可知，sinAcosA＝sinBcosB⇒tanA＝tanB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，所以A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos2B＝－cosC＝－14＝1－2sin2B，解得sinB＝104，cosB＝64，tanB＝153.因为AB＝c＝3，所以C到AB的距离h＝AB2×tanB＝32×153＝152，所以△ABC的面积为12×AB×h＝3154.答案：315411．(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)．(1)求角C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解：(1)由a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝12absinC＝34ab＝332，所以ab＝6，所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7.12．(2019·合肥质量检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC＝acos2B＋bcosAcosB.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若cosA＝78，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．解：(1)证明：根据正弦定理及bcosC＝acos2B＋bcosAcosB，可得sinBcosC＝sinAcos2B＋sinBcosAcosB＝cosB(sinAcosB＋sinBcosA)＝cosBsin(A＋B)，即sinBcosC＝cosBsinC，所以sin(B－C)＝0，由B，C∈(0，π)，得B－C∈(－π，π)，故B＝C，所以△ABC是等腰三角形．(2)由(1)知b＝c，则cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－a22b2＝78，得b＝2a.△ABC的周长为a＋b＋c＝5a＝5，得a＝1，b＝c＝2.故△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×2×1－782＝154.[综合题组练]1．(应用型)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sinπ4＋C等于()A．1B．－22C.22D.32解析：选C.因为S＝12absinC，cosC＝a2＋b2－c22ab，所以2S＝absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC．又4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以2absinC＝2abcosC＋2ab.因为ab≠0，所以sinC＝cosC＋1.因为sin2C＋cos2C＝1，所以(cosC＋1)2＋cos2C＝1，解得cosC＝－1(不合题意，舍去)或cosC＝0，所以sinC＝1，则sinπ4＋C＝22(sinC＋cosC)＝22.2．(应用型)(2019·陕西质量检测一)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acosB＋bcosA)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acosB＋bcosA)＝abc，所以a2＋b2－c2ab(acosB＋bcosA)＝c，由正、余弦定理可得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，所以2cosCsin(A＋B)＝sinC，即2cosCsinC＝sinC，又sinC≠0，所以cosC＝12，因为C∈(0，π)，所以C＝π3，B＝2π3－A，所以由正弦定理asinA＝bsin2π3－A＝c32，可得a＝csinA32，b＝csin2π3－A32，因为a＋b＝2，所以csinA32＋csin2π3－A32＝2，整理得c＝3sinA＋sin2π3－A＝332sinA＋32cosA＝1sinA＋π6，因为A∈0，2π3，所以A＋π6∈π6，5π6，可得sinA＋π6∈12，1，所以c＝1sinA＋π6∈[1，2)．答案：[1，2)3．(2018·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为ac，故cosA＝27.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17，所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.4．(一题多解)(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.(1)求角C;(2)若△ABC的面积S＝32c，求ab的最小值．解：(1)法一：由2ccosB＝2a＋b及余弦定理，得2c·a2＋c2－b22ac＝2a＋b，得a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，又0Cπ，所以C＝2π3.法二：因为asinA＝bsinB＝csinC，所以由已知可得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，则有2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB，所以2sinBcosC＋sinB＝0，因为B为三角形的内角，所以sinB≠0，所以cosC＝－12.因为C为三角形的内角，所以C＝2π3.(2)因为S＝12absinC＝32c，所以c＝12ab.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab，所以a2b24＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．故ab的最小值为12.