2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7.1　空间几何体及其表面积、体积

大一轮复习讲义第七章立体几何与空间向量考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.多面体的结构特征知识梳理名称棱柱棱锥棱台图形含义①有两个面互相___________，其余各面都是___________.②每相邻两个四边形的公共边都互相_____有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的_______的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____和_____之间的部分侧棱___________相交于_____但不一定相等延长线交于_____侧面形状_______________________平行且全等平行四边形平行多边形三角形截面底面平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于_____延长线交于_____轴截面全等的_____全等的____________全等的_______________侧面展开图_______________垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环3.直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段在直观图中长度为．45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝___S圆台侧＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l6.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝_____台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝______V＝_____13ShV＝13(S上＋S下＋S上S下)h43πR3Sh4πR21.如何求旋转体的表面积？微思考提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.2.柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？提示题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.()(3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.()(4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.()×基础自测√××题组二教材改编2.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱√3.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为____.解析由题意知，侧面展开图的弧长为5×85π＝8π，85π16π设圆锥底面圆的半径为r，则8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥高h＝52－42＝3，∴体积为13×π×42×3＝16π.4.一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为_____.解析设球的半径为R，则2R＝12＋22＋32＝14，14π则R＝142.∴S＝4πR2＝4π×144＝14π.题组三易错自纠5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22.√解析由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，6.下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是√TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究题型一空间几何体多维探究命题点1直观图例1已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为_____.222解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.因为OE＝22－1＝1，所以O′E′＝12，E′F＝24，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22.命题点2展开图例2(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.∴12πl2＝2π，1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，∴r·l＝2.又圆锥侧面展开图为半圆，∴l＝2，∴r＝1.画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点.思维升华跟踪训练1(1)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A.2＋2B.1＋22C.2＋22D.1＋2√解析恢复后的原图形为一直角梯形，其上底为1，下底为1＋2，高为2，所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2.(2)(2020·安庆模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是A.a2＋9b2B.9a2＋b2C.4a2＋9b2D.a2＋b2√解析正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为a2＋9b2.题型二表面积与体积多维探究命题点1表面积例3(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π√解析如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a.则33a＝2，a＝23，OO1＝a＝23.由πr2＝4π，得r＝2，在Rt△OO1A中，由勾股定理得R2＝r2＋OO21＝22＋(23)2＝16，所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.命题点2体积例4(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____.1解析如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，1AMNS△又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，11ADMNV11DAMNV∴＝＝13··D1A1＝13×32×2＝1.1AMNS△(1)空间几何体表面积的求法①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略①直接利用公式进行求解.②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.思维升华跟踪训练2(1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A.122πB.12πC.82πD.10π√解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为_____.23V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝24，由题意可得FO＝32，FG＝12，所以GO＝FO2－FG2＝22，解析如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，所以S△BCG＝12×1×22＝24，V2＝2VF－BCG＝2×13S△BCG·GF＝2×13×24×12＝212，所以V＝V1＋V2＝23.题型三与球有关的切、接问题多维探究命题点1简单几何体的外接球例5(八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_____.π2，61π解析截面图如图所示，下底面半径为5，圆周直径为10.则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝则圆台的高为3，V＝13h(S1＋S1S2＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.思维升华(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.命题点2简单几何体的内切球例6(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为______.23π则PD＝22，△PEO∽△PDB，解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝22，故内切球的体积为43π223＝23π.“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.思维升华跟踪训练3(1)已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，若点P为三棱锥S－ABC的外接球的球心，则这个外接球的半径是____.∴4R2＝9，R＝32.32解析如图所示，将三棱锥补形为长方体，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，则(2R)2＝12＋22＋22＝9，即这个外接球的半径是32.(2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为A.6π6B.π3C.π6D.3π3√解析平面ACD1，截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝33×22＝66.∴S＝πr2＝π×16＝π6.寻找球心解决与球有关的问题拓展视野空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.一、解方程确定球心的位置例1已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_____.4364π解析如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.∵在正三棱锥S－ABC中，底面边长为6，侧棱长为43，∴BE＝23×32×6＝23，∴SE＝SB2－BE2＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.二、借助三角形的外心确定球心的位置例2(2021·南昌市八一中学模拟