【新高考复习】1 第1讲　坐标系 新题培优练

[基础题组练]1．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的标准方程为x2＋y24＝1.(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线的斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sinθ－2cosθ.2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l的参数方程为x＝－2＋tcosα，y＝－4＋tsinα(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝20sin2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝20sin2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α0，所以α＝π4.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝2cosφy＝sinφ(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0απ2时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．解：(1)因为x＝2cosφy＝sinφ(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为x22＋y2＝1.由x＝ρcosθy＝ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ.因为x2＋y2－2y＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝21＋sin2α，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，所以|OA|2＋|OB|2＝21＋sin2α＋4sin2α＝21＋sin2α＋4(1＋sin2α)－4，因为0απ2，所以11＋sin2α2，所以621＋sin2α＋4(1＋sin2α)9，所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.解：(1)由曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)(tanθ＝3)．(2)由ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.2．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为x＝1＋22cosβ，y＝1＋22sinβ(β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋π2.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．解：(1)由x＝1＋22cosβ，y＝1＋22sinβ(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，所以曲线M是以(1，1)为圆心，22为半径的圆．(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，因为O，A，C三点共线，则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2(*)，将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)－6＝0，所以ρ1＋ρ2＝2（sinθ＋cosθ），ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC|＝28＋4sin2θ.用θ＋π2代替θ，得|BD|＝28－4sin2θ，又l1⊥l2，所以S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|，所以S四边形ABCD＝12（28＋4sin2θ）（28－4sin2θ）＝249－sin22θ，因为sin22θ∈[0，1]，所以S四边形ABCD∈[83，14]．3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝2＋2sinα(α为参数)，直线l的参数方程为x＝3－32ty＝3＋12t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)．(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ.由ρ＝23，得sinθ＝32，因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3y－43＝0，所以直线l的极坐标方程为ρcosθ＋3ρsinθ－43＝0.又射线OA的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立，得θ＝2π3（ρ≥0）ρcosθ＋3ρsinθ－43＝0，解得ρ＝43.所以点B的极坐标为43，2π3，所以|AB|＝|ρB－ρA|＝43－23＝23.4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ＋π4＝22，C2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C3：1ρ2＝cos2θ3＋sin2θ.设C1与C2交于点M.(1)求点M的极坐标；(2)若直线l过点M，且与曲线C3交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB||AB|的最小值．解：(1)曲线C1：ρcosθ＋π4＝22，可得x－y＝1，C2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x2＋y2＝1(y≥0)，由x－y＝1，x2＋y2＝1（y≥0），可得点M的直角坐标为(1，0)，因此点M的极坐标为(1，0)．(2)由题意得，曲线C3的直角坐标方程为x23＋y2＝1.设直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，代入曲线C3的直角坐标方程并整理得(3sin2α＋cos2α)t2＋(2cosα)t－2＝0.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2cosα3sin2α＋cos2α，t1t2＝－23sin2α＋cos2α，所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝23sin2α＋cos2α，|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝－2cosα3sin2α＋cos2α2－4·－23sin2α＋cos2α＝231＋sin2α3sin2α＋cos2α.所以|MA|·|MB||AB|＝331＋sin2α.因为0≤απ，所以0≤sin2α≤1.所以当α＝π2时，sinα＝1，此时|MA|·|MB||AB|有最小值，最小值为66.