2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.1　直线的方程

大一轮复习讲义第八章解析几何考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为.知识梳理x轴正向向上0°≤α180°2.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝(α≠90°).(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_______.y2－y1x2－x1正切值tanα3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式________________不含直线x＝x0斜截式____________不含垂直于x轴的直线两点式______________(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式__________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？微思考提示不对.设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°α90°90°90°α180°k的范围k＝0k0不存在k0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.()×√××基础自测题组二教材改编2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1B.4C.1或3D.1或4√解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3.已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为.解析由|k|＝|tanα|＝1知tanα＝±1，∴α＝π4或3π4.π4或3π44.已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为.所以kAB＝kBC，即2－－10－－3＝4－2m－0，故m＝2.2解析因为A，B，C三点在同一直线上，题组三易错自纠5.(多选)下列说法正确的是A.有的直线斜率不存在B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tanαC.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为D.截距可以为负值√3π4√√6.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究题型一直线的倾斜角与斜率师生共研例1(1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈－33－1，3－1，则直线AB的倾斜角α的取值范围是A.π6，π2B.π2，2π3C.π6，π2∪π2，2π3D.π6，2π3√解析①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，∴α∈π6，π2∪π2，2π3.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是π6，2π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是A.k≥12B.k≤－2C.k≥12或k≤－2D.－2≤k≤12√解析直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝3－11－2＝－2，kPB＝－1－1－2－2＝12，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤12.引申探究本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是.－∞，12∪[3，＋∞)解析直线l过定点P(0,0)，∵kPA＝3，kPB＝12，∴k≥3或k≤12.(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性.思维升华跟踪训练1(1)(2021·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2√解析因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k10，所以k1k3k2.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.解析如图所示，当直线l过点B时，(－∞，－3]∪[1，＋∞)3k1＝3－00－1＝－3.当直线l过点A时，k2＝1－02－1＝1，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).1.(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为A.x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋5＝0D.x－y－5＝0√题型二求直线的方程自主演练解析倾斜角为45°的直线的斜率为tan45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.2.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0√解析设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tanα＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为.解析联立x＋y＝2，2x－y＝1，解得x＝1，y＝1，2x＋3y－5＝0∴直线的斜率k＝－23.则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，4.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.思维升华命题点1直线过定点问题例2已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点；(0,3)题型三直线方程的综合应用多维探究解析当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3).(2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点；(－3,0)解析直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0).(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点.(3,0)解析当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0).命题点2与直线有关的多边形面积的最值例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2k－1k，0，B(0,1－2k).∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴2k－1k0，1－2k0⇒k0.于是S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·2k－1k·(1－2k)＝124－1k－4k≥124＋2－1k·－4k＝4.当且仅当－1k＝－4k，即k＝－12时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二设所求直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，则2a＋1b＝1.又∵2a＋1b≥22ab⇒12ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝12ab有最小值为4.此时，直线l的方程是x4＋y2＝1.引申探究本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.解方法一由本例知A2k－1k，0，B(0,1－2k)(k0).∴|MA|·|MB|＝1k2＋1·4＋4k2＝21＋k2|k|＝2－k＋1－k≥4.当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时取等号.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二由本例知A(a,0)，B(0，b)，a0，b0，2a＋1b＝1.∴|MA|·|MB|＝|MA→|·|MB→|＝－MA→·MB→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.思维升华跟踪训练2已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1).(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.解由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k).依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.KESHIJINGLI