【新高考复习】专题09 直线与圆的方程-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

专题09直线与圆的方程易错点1忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k=3－2m－1=1m－1.①当m1时，k=1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°；②当m1时，k=1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m1，m1三种情况进行讨论．【试题解析】当m=1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°.当m≠1时，由斜率公式可得k=3－2m－1=1m－1.①当m1时，k=1m－10，所以直线倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时，k=1m－10，所以直线倾斜角α的取值范围是90°α180°.【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tanx的单调性求斜率k的范围．3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x的倾斜角为2，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k01．直线的倾斜角的大小是_________.【答案】【解析】直线方程为，.易错点2忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值．【错解】由l1⊥l2⇔12·1kk，又k1=3－aa－5，k2=a－5－3，所以3－aa－5·a－5－3=−1，解得a=0.【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔12·1kk，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．当20k时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直．当20k时，由12·1kk，得a=0.所以a的值为0或5.【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．2．斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率tank．（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=2121yyxx．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程；（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.5．已知三点,,ABC，若直线,ABAC的斜率相同，则,,ABC三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．（1）在轴上的截距为1；（2）斜率为1；（3）经过定点．【答案】（1）1；（2）；（3）或.【解析】(1)∵直线过点P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6.解得m＝3或m＝1.又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.(2)由斜率为1，得解得m＝.(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．易错点3忽视两条直线平行的条件当a为何值时，直线1l：y=−x＋2a与直线2l：222yax平行？【错解】由题意，得22a=−1，∴a=±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．【试题解析】∵12ll∥，∴22a=−1且2a≠2，解得a=−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．【参考答案】a=−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.3．两条直线的位置关系斜截式111222::lykxblykxb一般式11112222:0:0lAxByClAxByC1l与2l相交12kk12210ABAB1l与2l垂直121kk12120AABB1l与2l平行12kk且12bb1221122100ABABBCBC或1221122100ABABACAC1l与2l重合12kk且12bb1221122112210ABABACACBCBC（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．3．已知过点2Am，和4Bm，的直线与直线210xy平行，则m的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线的斜率等于，所以过点和的直线与直线平行，所以所以，解得，故选B．【名师点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．易错点4忽视截距为0的情形已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【错解】由题意，设直线l的方程为xa＋ya=1，∵直线l过点(2，−1)，∴2a＋－1a=1，∴a=1，则直线l的方程为x＋y−1=0.【错因分析】错解忽略了过原点时的情况．【试题解析】设直线l在两坐标轴上的截距为a.若a=0，则直线l过原点，其方程为x＋2y=0；若a≠0，则直线l的方程可设为xa＋ya=1，∵直线l过点(2，−1)，∴2a＋－1a=1，∴a=1，则直线l的方程为x＋y−1=0.综上所述，直线l的方程为20xy或x＋y−1=0.【思路分析】截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．【参考答案】20xy或x＋y−1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．直线在轴和轴上的截距相等，则实数=__________.【答案】1或-2【解析】当0,2xya，当20,ayxa，直线在轴和轴上的截距相等，所以22aaa，解得.易错点5含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0laxylxaylxya共有三个不同的交点，则a的取值范围为A．1aB．a≠1且a≠−2C．a≠−2D．1a且a≠−2【错解】选A或选B【错因分析】在解题过程中，常错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．错选A时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．①若三条直线交于一点，由x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0，解得x＝－a－1，y＝1，将l2，l3的交点1,1a代入l1的方程解得a=1或a=−2.②若12ll∥，则由a×a−1×1=0，解得a=±1，当a=1时，1l与2l重合．③若2l∥3l，则由1×1−a×1=0，解得a=1，当a=1，2l与3l重合．④若1l∥3l，则由a×1−1×1=0，解得a=1，当a=1时，1l与3l重合．综上，当a=1时，三条直线重合；当a=−1时，1l∥2l；当a=−2时，三条直线交于一点.所以要使三条直线共有三个交点，需1a且a≠−2.【参考答案】D1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是A．B．或C．D．【答案】A【解析】联立，解得直线与直线的交点位于第一象限，，解得，故选A.易错点6忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O(0，0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k−1=0外，求k的取值范围．【错解】∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k−1＞0，解得k＞12或k＜−1.∴k的取值范围是(−∞，−1)∪(12，＋∞)．【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220xyDxEyF表示圆的条件为2240DEF，而导致错误．【试题解析】∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2−4(2k2＋k−1)＞0，即3k2＋4k−4＜0，解得−2＜k＜23.又∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k−1＞0，解得k＞12或k＜−1.综上所述，k的取值范围是(−2，−1)∪(12，23)．【参考答案】(−2，−1)∪(12，23).方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．已知圆22220xyxyk和定点P(1，−1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是A．(−2，＋∞)B．(−∞，2)C．(−2，2)D．(−∞，−2)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】因为方程22220xyxyk表示一个圆，所以4＋4−