【新高考复习】专题05 平面向量-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题05平面向量易错点1忽略了零向量的特殊性给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等.②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.【错解】④【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．学%￥科网【试题解析】①AB与BA是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④.【参考答案】②④解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a与||aa的关系：||aa是a方向上的单位向量.（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.1．下列命题正确的是A． ababB．ababC．∥ababD．00aa【答案】D【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确；B中,两个向量不能比较大小,所以错误；C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误；D中,如果一个向量的模等于0,则这个向量是.易错点2忽视平行四边形的多样性失误已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.【错解】设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC，又∵AB=（4，0），DC=（1－x，－5－y），∴145=0xy，解得x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）.【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.①若四边形ABCD1为平行四边形，则1AD=BC，而1AD=（x＋1，y），BC=（－2，－5）.由1AD=BC，得+2=51yx，∴=53xy，∴D1（－3，－5）.②若四边形ACD2B为平行四边形，则AB=2CD.而AB=（4，0），2CD=（x－1，y＋5）.∴+=1+045xy，∴=55xy，∴D2（5，－5）.③若四边形ACBD3为平行四边形，则3AD=CB.而3AD=（x＋1，y），CB=（2，5），∴1+=52yx，∴=51yx，∴D3（1，5）.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.2．若四边形满足,=0ABCDABADAC0，则该四边形一定是A．菱形B．矩形C．正方形D．直角梯形【答案】A错点3忽视两向量夹角的范围已知向量(1,2),(,1)xab（1）若,ab为锐角，求x的取值范围；（2）当(2)(2)⊥abab时，求x的值.【错解】（1）若,ab为锐角，则0ab且,ab不同向.20xab，∴2x.（2）由题意，可得2(12,4),(2)(2,3)xxabab，又(2)(2)⊥abab，(21)(2)340xx，即223140xx，解得72x或2x.【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.【试题解析】（1）若,ab为锐角，则0ab且,ab不同向.20xab，∴2x.当12x时，,ab同向,122xx且.即若,ab为锐角，x的取值范围是{x|2x且12x}.【参考答案】（1）{x|2x且12x}；（2）72x或2x.1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．3．已知向量(2,1),(,1)ab,且a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.【答案】1(,2)(2,)2【解析】∵a与b的夹角为钝角，∴0ab，即(2,1)(,1)210，∴12.又当a与b反向时，夹角为180°，即||||abab，则22151，解得2.应该排除反向的情形，即排除2，于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2.【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos10;当夹角为180°时,cos10,这是容易忽略的地方.1．在求ABC△的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°而不是60°.2．在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.3．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.4．实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．易错点4三角形的“四心”的概念混淆不清已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足+(+)OPOAABAC，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过ABC△的]A．内心B．外心C．重心D．垂心【错解】A【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.【试题解析】由原等式，得OPOA=(+)ABAC，即AP=(+)ABAC，根据平行四边形法则，知+ABAC是ABC△的中线AD（D为BC的中点）所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过ABC△的重心，故选C.【参考答案】C三角形的“四心”与平面向量1.重心.若点G是ABC△的重心，则+=GAGBGC0或1(+)3PGPAPBPC（其中P为平面内任意一点）.反之，若+=GAGBGC0，则点G是ABC△的重心.2.垂心.若H是ABC△的垂心，则==HAHBHBHCHAHC或222222==HABCHBACHCAB.反之，若==HAHBHBHCHAHC，则点H是ABC△的垂心.3.内心.若点I是ABC△的内心，则有||+||+||BCIAACIBABIC=0.反之，若||+||+||BCIAACIBABIC=0，则点I是ABC△的内心.4.外心.若点O是ABC△的外心，则()()()OAOBABOBOCBCOAOCAC=0或||||||OAOBOC.反之，若||||||OAOBOC，则点O是ABC△的外心.4．G是ABC△的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若33aGAbGBcGC0，则角AA．90°B．60°C．45°D．30°【答案】D【解析】因为G是ABC△的重心，所以有GAGBGC0.又33aGAbGBcGC0，所以a∶b∶33c＝1∶1∶1，设c＝3，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝1＋3－123＝32，所以A＝30°，故选D.向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题．一、平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理及其应用向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．二、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.学科网2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算（1）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=2211+xy，|a＋b|=221212(+)+(+)xxyy.（3）平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.（4）向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.三、平面向量的数量积1.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.（2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.平面向量数量积的运算律（1）a·b=b·a（交换律）.（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.（1）数量积：a·b=|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.（2）模：|a|=·aa=2211+xy.（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离|AB|=||AB=221212()+()xxyy.（4）夹角：cosθ=||||abab=121222221122+++xxyyxyxy.（5）已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b=0⇔x1x