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易错点1忽略概率加法公式的应用前提致错某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：日收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)(元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有()()()PABPAPB，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.【解析】从袋中任取一球，记事件A＝{得到红球}，事件B＝{得到黑球}，事件C＝{得到黄球}，事件D＝{得到绿球}，则有1,35,125,1221,3PAPBCPBPCPCDPCPDPBCDPA解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．分别以,,,ABCD表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组，即可得到答案．易错点2混淆“等可能”与“非等可能”从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为.【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为.利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.2．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是A．1999B．11000C．9991000D．12【答案】D【解析】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为12，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为12，抛掷第999次正面向上的概率还是12.故选D.【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用，其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为12，它不因抛掷的次数而变化，即可得到答案．错点3几何概型中测度的选取不正确在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．（1）在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率;（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率.【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB=AC．由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．所以222ACACPAMACABAC.（2）在∠ACB的内部作射线CM，则所求概率为22ACACABAB.【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB=AC．由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．所以222ACACPAMACABAC.（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又1(18045)67.52ACC，90ACB，所以ACCPAMACACB的角度的角度67.53904.对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3．在区间0,1上随机取两个数x，y，记P为事件“23xy”的概率，则PA．23B．12C．49D．29【答案】D【解析】如图所示，01,01xy表示的平面区域为ABCD，平面区域内满足23xy的部分为阴影部分的区域APQ，其中2,03P，20,3Q，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119P.本题选择D选项.【名师点睛】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．易错点4错解随机变量的取值概率而致错从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为X．（1）求X的分布列；（2）求所选女生的人数至多为1的概率．【错解】（1）由题设可得X的可能取值为0，1，2，且3436A1(0)A5PX，214236AA1(1)A5PX，3(2)1(0)(1)5PXPXPX，所以X的分布列为X012P151535（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X，其概率为2(1)(0)(1)5PXPXPX．【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量X服从参数为6N，2M，3n的超几何分布．【试题解析】（1）由题设可得X的可能取值为0，1，2，且3436C1(0)C5PX，122436CC3(1)C5PX，212436CC1(2)C5PX，所以X的分布列为X012P153515（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X，其概率为4(1)(0)(1)5PXPXPX．4．大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为12（假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响）.（1）求恰好有3株成活的概率；（2）记成活的豆苗株数为，收成为kg，求随机变量分布列及数学期望E.【答案】（1）3431024；（2）见解析.【解析】（1）设每株豆子成活的概率为0P，则30171128P，所以4株中恰好有3株成活的概率313477343C1881024P.（2）记成活的豆苗株数为，收成为=2.205，则的可能取值为0,1,2,3,4，且~74,8B，所以的分布列如下表：01234P4047C18131477C188222477C188313477C1884447C8743.58E，=2.2052.2057.7175kgEEE.【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关.（1）利用对立事件求出每株豆子成活的概率，再结合独立事件概率公式得到结果；（2）记成活的豆苗株数为，收成为=2.205，且~74,8B，从而得到随机变量的分布列及的数学期望E.易错点5对超几何分布的概念理解不透彻而致错盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列．【错解】由题意可知，X服从超几何分布，其中12N，3M，3n，所以在取得正品之前已取出次品数X的分布列为339312CC(0,1,2,3)C()kkPXkk，所以已取出次品数X的分布列为X0123P21552755272201220【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“1X”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“2X”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品”，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题．【试题解析】由题易得X的可能取值为0，1，2，3．19112()C30C4PX，1139212CC9()1A44PX，2139312AC92A2()20PX，3139412AC13A2()20PX，所以已取出次品数X的分布列为X0123P3494492201220求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．5．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望EX.【答案】（1）2140；（2）见解析.【解析】（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，则2173310CC