2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第1课时　范围与最值问题

大一轮复习讲义第八章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题例1已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3.题型一范围问题师生共研(1)求椭圆C的方程；解因为原点到直线x＋3y－1＝0的距离为12.所以122＋322＝b2(b0)，解得b＝1.又e2＝c2a2＝1－b2a2＝34，得a＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.解当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x＝my＋4，x24＋y2＝1，得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.由Δ＝64m2－48(m2＋4)0，得m212，所以y1y2＝12m2＋4.λ＝|MA|·|MB|＝m2＋1|y1|·m2＋1|y2|＝(m2＋1)·|y1y2|＝12m2＋1m2＋4＝121－3m2＋4.由m212，得03m2＋4316，所以394λ12.故λ的取值范围是394，12.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华跟踪训练1(2020·山东新高考联合考试)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p0)在第一象限分别交于D，C两点.(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；解由题意知Ap2，0，则Bp2＋a，0，Dp2，p，则Cp2＋a，p2＋2pa，又a＝p，所以kCD＝3p－p3p2－p2＝3－1.(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围.S1S2解设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由y＝kx＋b，y2＝2px，得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb0，得kbp2，又y1＋y2＝2pk，y1y2＝2pbk，由y1＋y2＝2pk0，y1y2＝2pbk0，可知k0，b0，因为|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝a1＋k2，点O到直线CD的距离d＝|b|1＋k2，所以S1＝12·a1＋k2·|b|1＋k2＝12ab.又S2＝12(y1＋y2)·|x1－x2|＝12·2pk·a＝apk，所以S1S2＝kb2p，因为0kbp2，所以0S1S214.即S1S2的取值范围为0，14.题型二最值问题多维探究命题点1几何法求最值例2(2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12.(1)求C的方程；解由题意可知直线AM的方程为y－3＝12(x－2)，即x－2y＝－4.当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点M(2,3)，可得416＋9b2＝1，解得b2＝12.所以C的方程为x216＋y212＝1.(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.解设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立x－2y＝m，x216＋y212＝1，可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝8＋41＋4＝1255，由两点之间的距离公式可得|AM|＝2＋42＋32＝35.所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255＝18.例3在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的标准方程；命题点2代数法求最值1，22解由题意得椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1.∵椭圆E经过点1，22，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1.∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1.(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值.解∵点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2).设M(x1，y1)，N(x2，y2).由y＝kx＋2，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.∴x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)0，解得0≤k212.∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k21＋2k22.∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k22－4k21＋2k22.令1＋2k2＝t，t∈[1,2)，得k2＝t－12.∴S＝3t－12－tt2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3－21t－342＋18.当1t＝34，即t＝4343∈[1，2时，S有最大值，Smax＝324，此时k＝±66.∴△F2MN的面积的最大值是324.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华(1)求点P的坐标；跟踪训练2如图所示，点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.解由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)，∵PA⊥PF，∴AP→·FP→＝0，则x236＋y220＝1，x＋6x－4＋y2＝0，可得2x2＋9x－18＝0，得x＝32或x＝－6.由于y0，故x＝32，于是y＝532.∴点P的坐标是32，532.(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解由(1)可得直线AP的方程是x－3y＋6＝0，点B(6,0).又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49x－922＋15，由于－6≤x≤6，由f(x)＝49x－922＋15的图象可知，当x＝92时，d取最小值，且最小值为15.KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练123451.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为12，|AB|＝5.(1)求椭圆C的方程；12345解由已知得A(－a,0)，B(0，b)，∴ba＝12，a2＋b2＝5，可得a2＝4，b2＝1，则椭圆C的方程为x24＋y2＝1.12345(2)设直线l：x＝my－1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围.12345解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＝my－1，x24＋y2＝1，得(m2＋4)y2－2my－3＝0.Δ＝(2m)2＋12(4＋m2)＝16m2＋480，y1＋y2＝2mm2＋4，y1y2＝－3m2＋4，由题意得∠MON为锐角，即OM→·ON→0，∴OM→·ON→＝x1x2＋y1y20，又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1.12345∴x1x2＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝(1＋m2)·－34＋m2－2m24＋m2＋1＝1－4m24＋m20，∴m214，解得－12m12.∴m的取值范围为－12，12.2.(2021·长沙雅礼中学模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；解∵F1(1,0)，F20，p2，∴F1F2—→＝－1，p2，12345F1F2—→·OP→＝－1，p2·(－1，－1)＝1－p2＝0，∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值.12345解设过点O的直线MN的方程为y＝kx(k0)，联立y2＝4x，y＝kx，得(kx)2＝4x，解得M4k2，4k，联立x2＝4y，y＝kx，得N(4k,4k2)，从而|MN|＝1＋k24k2－4k＝1＋k24k2－4k，点P到直线MN的距离d＝|k－1|1＋k2，所以S△PMN＝12·|k－1|1＋k2·1＋k24k2－4k12345＝21－k1－k3k2＝21－k21＋k＋k2k2＝2k＋1k－2k＋1k＋1，令t＝k＋1k(t≤－2).则S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，当t＝－2，即k＝－1时，S△PMN取得最小值，最小值为8.即当过原点的直线方程为y＝－x时，△PMN的面积取得最小值8.123453.(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＝1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；x2a2＋y2b2解连接PF1(图略).由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.12345(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.12345解由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.12345由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞