【新高考复习】课时跟踪检测（十二） 函数与方程 作业

课时跟踪检测（十二）函数与方程一、综合练——练思维敏锐度1．求下列函数的零点，可以用二分法的是()A．f(x)＝x4B．f(x)＝tanx＋2－π2xπ2C．f(x)＝cosx－1D．f(x)＝|2x－3|解析：选B∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选B.2．函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B法一：定理法∵f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为1.法二：图象法令f(x)＝0，得x12＝12x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x12与y＝12x的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.3．设函数y＝log2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C令函数f(x)＝log2x－1－22－x，则f(2)＝－1，f(3)＝log23－32＝log23－log2(8)0，因为f(2)f(3)0，所以函数f(x)在(2,3)上必有零点．又易知函数f(x)为增函数，所以f(x)在(2,3)上有且只有一个零点，所以x0∈(2,3)，故选C.4．已知函数f(x)＝x－x(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x2x3x1D．x3x1x2解析：选C作出y＝x与y1＝x，y2＝－ex，y3＝－lnx的图象如图所示，可知选C.5．(多选)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)0，那么下列结论中正确的是()A．f(x)可能有三个零点B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)f(6)D．f(0)f(－6)解析：选AC因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)0，所以f(3)·f(6)0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)0，f(6)0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选A、C.6．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有()A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解解析：选ABCD设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＜x2＜0＜x3，设g(x)的零点为x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3，可能为一个解，故C正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且仅有一个解，故D正确．7．对于实数a，b定义运算“D○×”：aD○×b＝b－a，ab，b2－a2，a≥b.设f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)，且关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为()A．(0,3)B．(－1,0)C．(－∞，0)D．(－3,0)解析：选D∵aD○×b＝b－a，ab，b2－a2，a≥b，∴f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)＝－x，x0，－3x2＋6x，x≥0，其图象如图所示．不妨设x1x2x3，由图可得x1＝－k，x2x3＝13k，故x1x2x3＝－13k2，k∈(0,3)，∴x1x2x3∈(－3,0)．故选D.8．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)0，∴(－3a＋1)·(1－a)0，解得13a1，∴实数a的取值范围是13，1.答案：13，19．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)0的解集是____________________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3，∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系知－2＋3＝－a，－2×3＝b，∴a＝－1，b＝－6，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)0，即－(4x2＋2x－6)0⇔2x2＋x－30，解集为x－32x1.答案：x－32x110．函数f(x)＝12|x－1|＋2cosπx(－4≤x≤6)的零点个数为________；所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y＝12|x－1|与y＝－2cosπx在[－4,6]上的交点的个数，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(如图)，易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，共10个交点，所有零点之和为5×2＝10.答案：101011．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋14x，x0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t(t1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t1)与y＝a的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a54，即a的取值范围是1，54.12．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围．解：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－1m2与g(x)＝x＋m的大致图象．分两种情形：(1)当0m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．(2)当m1时，01m1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．二、自选练——练高考区分度1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有()A．多于4个B．4个C．3个D．2个解析：选B因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.2．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()A．[2,4]B．2，73C.73，3D．[2,3]解析：选D易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则g0≥0，ga2≤0，0a22，即－a＋3≥0，a24－a22－a＋3≤0，0a4.解得2≤a≤3.3．已知f(x)＝ax2＋2x＋ax≤0，ax－3x0有且只有1个零点，则实数a的取值范围是________．解析：当a0时，函数f(x)＝ax－3(x0)必有一个零点，又因为－1a0，故a－1a2＋2－1a＋a0，解得a1；当a＝0时，f(x)＝2xx≤0，－3x0恰有一个零点；当a0时，若x0，则f(x)＝ax－30，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a0时，f(x)无零点．答案：{0}∪(1，＋∞)4．已知函数f(x)＝(2－a)·(x－1)－2lnx．若函数f(x)在0，12上无零点，求a的最小值．解：法一：∵f(x)0在0，12上不可能恒成立，要使函数f(x)在0，12上无零点，只要对任意的x∈0，12，f(x)0恒成立，即对任意的x∈0，12，a2－2lnxx－1恒成立．令l(x)＝2－2lnxx－1，x∈0，12，则l′(x)＝2lnx＋2x－2x－12，令m(x)＝2lnx＋2x－2，x∈0，12，则m′(x)＝－2x2＋2x＝－21－xx20，故m(x)在0，12上为减函数，于是m(x)m12＝2－2ln20，从而l′(x)0，于是l(x)在0，12上为增函数，∴l(x)l12＝2－4ln2.故要使a2－2lnxx－1恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)．则a的最小值为2－4ln2.法二：令g(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2lnx，∵f(x)＝g(x)－h(x)在0，12上无零点，∴g(x)与h(x)的图象在0，12上无交点．显然，g(x)，h(x)的图象都过A(1,0)，如图，直线AB的斜率k＝0＋2ln21－12＝4ln2.∴当g(x)的斜率2－a≤4ln2时无交点，∴a≥2－4ln2.∴a的最小值为2－4ln2.