【新高考复习】第六节 函数的图象及其应用 教案

第六节函数的图象及其应用核心素养立意下的命题导向1.给出函数解析式作出或辨析函数图象，凸显直观想象、数据分析和数学建模的核心素养．2．利用函数图象解决函数零点、不等式、求参数范围等问题，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)――――――――→a0，右移a个单位a0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；y＝f(x)――――――――→b0，上移b个单位b0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换y＝f(x)―――――――――――――――――――――→0ω1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1ω倍ω1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍y＝f(ωx)；y＝f(x)――――――――――――――――――――→A1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍0A1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍y＝Af(x)．(3)对称变换y＝f(x)――――――→关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝－f(－x)．(4)翻折变换y＝f(x)――――――――――――――→去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去y＝f(|x|)；y＝f(x)――――――――――――――→保留x轴上方图将x轴下方的图象翻折到上方去y＝|f(x)|.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(由解析式确定图象)函数y＝21－x的大致图象为()答案：A2．(图象变换)将函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________.答案：log2(x－1)－13．(由图象确定解析式)若函数f(x)＝ax＋b，x－1，lnx＋a，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)＝________.答案：－14．(图象的应用)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．答案：(0，＋∞)二、易错点练清1．(图象的平移变换规则用错)将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．答案：y＝(2x＋3)22．(图象的伸缩变换规则用错)把函数f(x)＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．解析：根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln12x.答案：y＝ln12x考点一函数图象的画法[典例]分别作出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.[解](1)y＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.图象如图①所示．(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．(3)y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0.图象如图③所示．[方法技巧]函数图象的画法[针对训练]作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝log2|x＋1|；(3)y＝2x－1x－1.解：(1)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x≥0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图实线部分．(2)将y＝log2|x|的图象向左平移1个单位即可得到函数y＝log2|x＋1|的图象，而y＝log2|x|＝log2xx0，log2－xx0，是一个偶函数，其图象关于y轴对称，则y＝log2|x＋1|的图象关于直线x＝－1对称，如图所示．(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图所示．考点二函数图象的识别[典例](1)(2020·浙江高考)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是()(2)(2021·乐山模拟)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为()[解析](1)令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C、D.又f(π)＝－π0，排除B，故选A.(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0≤a≤4.由两点式可得AB：y＝－2x＋8，联立方程y＝2x－a，y＝－2x＋8，得Q12a＋2，4－a.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积y＝S(a)＝12×4×4－12×(4－a)×(4－a)＝－12(4－a)2＋8.故选D.[答案](1)A(2)D[方法技巧]有关函数图象识别问题的解题思路(1)由解析式确定函数图象①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．[针对训练]1．(2020·天津高考)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()解析：选A法一：令f(x)＝4xx2＋1，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)0，排除B，故选A.法二：令f(x)＝4xx2＋1，由f(1)0，f(－1)0，故选A.2．函数f(x)＝3x－3－xx4的大致图象为()解析：选B易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝3－x－3xx4＝－3x－3－xx4＝－f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除A；f(1)＝3－13＝830，排除D；当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，故选B.考点三函数图象的应用问题考法(一)利用函数图象研究函数的性质[例1]已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析]将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案]C[方法技巧]对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二)利用函数图象求解不等式[例2]函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式fxcosx0的解集为________．[解析]当x∈0，π2时，y＝cosx0.当x∈π2，4时，y＝cosx0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1xπ2时，fxcosx0.又函数y＝fxcosx为偶函数，所以在[－4,0]上，fxcosx0的解集为－π2，－1，所以fxcosx0的解集为－π2，－1∪1，π2.[答案]－π2，－1∪1，π2[方法技巧]利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．考法(三)利用图象解决方程根的问题[例3]已知函数f(x)＝x2＋2x，－2≤x≤0，fx－1＋1，0x≤2，则关于x的方程x－f(x)＝0在[－2，2]上的根的个数为()A．3B．4C．5D．6[解析]分别作出y＝f(x)，y＝x的图象，如图，可知函数f(x)的图象与直线y＝x在[－2,2]上有4个交点，所以方程x－f(x)＝0在[－2,2]上的根的个数为4，故选B.[答案]B[方法技巧]利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．[针对训练]1．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x－1|)，则函数y＝g(x)的图象关于()A．直线x＝－1对称B．直线x＝1对称C．原点对称D．y轴对称解析：选B因为y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，而y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y＝f(|x－1|)的图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B.2．(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是()A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有三个解C．函数F(x)在区间[－1,1]内单调递增D．函数F(x)有4个单调区间解析：选ABD由题意函数min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b为取小函数．根据f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象如图所示．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A正确．函数图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B正确．函数在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]内单调递减，在[0,1]内单调递增，在[1，＋∞)内单调递减，所以C错误，D正确．3．如图所示，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)f(－x)－2x的解集是________．解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．答案：(－1,0)∪(1，2]创新思维角度——融会贯通学妙法识图与辨图的常见方法方法(一)特殊点法[例1]函数f(x)＝x2－12x的大致图象是()[解析]令x＝0，得f(0)＝－1，排除D.f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，可排除A、C，故选B.[答案]B[名师微点]使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．方法(二)性质检验法[例2]函数f(x)＝xe－x－ex4x2－1的图象大致是()[解析]因为f(－x)＝－xex－e－x4－x2－1＝xe－x－ex4x2－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除A；易知函数f(x)的定义域为－∞，－12∪－12，12∪12，＋∞，f(x)＝xe－x－ex4x2－1＝xe－x1－e2x4x2－1，当x＝14时，f(x)0，可排除C；当x→＋∞时，f(x)→－∞，可排除D.故选B.[答案]B[名师微点]利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．方法(三)图象变换法[例3]已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是图中的()[解析]作出函数f(x)的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象可由f(x)的图象通过如下变换得到：