第2部分 专题3 强基专题3　立体几何中的截面问题 课件（共30张PPT）

专题三数列强基专题3立体几何中的截面问题第二部分核心专题师生共研在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、正方体、长方体等等，得到的平面图形叫做截面.2018年全国卷Ⅰ，2020新高考卷Ⅰ都对此点做了考查.在日常学习中，熟知立体几何理论体系，提升空间想象能力是解答此类问题的关键.【例】(1)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确的是()①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为33.A．①②B．②③C．①③④D．②③④(2)(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(3)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，作过E，F，G三点的截面．(1)C(2)2π2[(1)如图，显然①③正确，②错误，下面说明④成立，如图，当截面是正六边形时，面积最大，MN＝22，GH＝2，OE＝1＋222＝62，所以S＝2×12×(22＋2)×62＝33，故④正确．故选C．(2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝22＋12＝5，D1M⊥B1C1，且D1M＝3.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝2，连接D1P，则D1P＝D1M2＋MP2＝32＋22＝5，连接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以M为圆心，2为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH︵的长为14×2π×2＝2π2.](3)[解]作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面．截面形状及相应面积的求法(1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；(2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；(3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等；(4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．13524[跟进训练]1．(2021·重庆模拟)在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，点E为线段PC的中点，过点E作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为()A．6πB．8πC．10πD．12π13524A[根据题意，在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且满足：PA＝3，PB＝4，PC＝5，设三棱锥体的外接球半径为R，故4R2＝32＋42＋52，解得R2＝252.13524在所有过点E的截面里，当截面过球心O时，截面圆的面积最大，此时半径为R，在所有过点E的截面里，当OE与截面垂直时，截面圆的面积最小，此时截面的圆心为E，由于OE＝32＋422＝52，所以最小的截面圆的半径为r＝R2－OE2＝504－254＝52，13524所以最小的截面圆的面积S＝π·522＝254π，故截面圆的面积的范围为25π4，25π2.故选A．]213452.如图，四面体A­BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论错误的是()A．四边形EFGH的周长为定值B．四边形EFGH的面积为定值C．四边形EFGH为矩形D．四边形EFGH的面积有最大值121345B[因为EF∥BC，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，又平面EFGH∩平面BDC＝GH，所以EF∥GH，同理FG∥EH，所以四边形EFGH为平行四边形，又AD⊥BC，所以四边形EFGH为矩形．21345由相似三角形的性质得EFBC＝AFAC，FCAC＝FGAD，所以EFBC＋FGAD＝AFAC＋FCAC，BC＝AD＝2，所以EF＋FG＝2，所以四边形EFGH的周长为定值4，S四边形EFGH＝EF×FG≤EF＋FG22＝1，所以四边形EFGH的面积有最大值1.故选B．]312453.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题错误的是()31245A．当0CQ12时，S为四边形B．当CQ＝12时，S为等腰梯形C．当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13D．当34CQ1时，S为六边形31245D[当Q为中点，即CQ＝12时，截面APQD1为等腰梯形，故B正确；当0CQ12时，只需在DD1上取点M使PQ∥AM，即可得截面APQM为四边形，故A正确；31245当CQ＝34时，如图，延长AP交DC的延长线于M，连接MQ，并延长交C1D1于R，交DD1的延长线于N，31245∵CQ＝34，CM＝1，∴DN＝34×2＝32，∴D1N＝12，∴D1NDN＝13，∴D1RDM＝13，∴D1R＝23，∴C1R＝13，故C正确；当34CQ1时，在上图中只需将Q上移，此时截面形状仍是APQRT，为五边形，故D不正确．]412354.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和(GF︵＋EF︵)等于________．412355π6[如题图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即平面BB1C1C、平面CC1D1D和面A1B1C1D1上．41235在平面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE＝2，AA1＝3，则∠A1AE＝π6.同理∠BAF＝π6，所以∠EAF＝π6，故弧EF的长为2×π6＝π3，而这样的弧共有三条．41235在平面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝π2，所以弧FG的长为：1×π2＝π2.于是，所得的曲线长为GF＋EF＝π3＋π2＝5π6.245135．圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为θ，求过此圆锥的母线的截面面积最大值．24513[解]设△VCD是过圆锥母线的异于轴截面的任意截面，其顶角∠CVD＝α，轴截面VAB的面积S＝12l2sinθ.截面VCD的面积S′＝12l2sinα.在△VAB和△VCD中，CD＜AB，所以α＜θ.24513(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sinα＜sinθ⇒S′＜S，此时过圆锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sinθ.(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sinθ＜1，sinα可以取到最大值1，此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.24513综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范围有关，当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sinθ.当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.