第2部分 专题3 强基专题4　立体几何的动态问题 课件（共35张PPT）

专题三数列强基专题4立体几何的动态问题第二部分核心专题师生共研立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题，解答此类问题应该动静结合、化动为静，找到相应的几何关系，具体可以有以下几种解决方法：1函数法：某些点、线、面的运动，必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化，从而建立函数关系，将立体几何问题转化为函数问题来解.2解析法：我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后，借助向量进行运算和分析，是解决这类问题的常用方法.3等价转换法：动和静是相对的，在运动变化过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，实现变量与不变量的结合.类型1以静制动(旋转问题、投影问题)【例1】正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α(如图)，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________．24，12[去掉与问题无关的面，将四面体看成是以AB为棱的二面角C­AB­D(二面角大小一定)，用纸折出这个二面角，不妨将AB置于平面α内，将二面角绕AB转动一周，观察点C，D在平面α上的射影，可以发现点C，D在平面α上的射影始终在AB的射影的中垂线上．图1图2图3当CD∥平面α时，四边形ABCD面积最大，为12(如图1)当CD⊥平面α时(此时点C(D)到AB的距离即为异面直线AB与CD的距离)，四边形ABC(D)面积最小为24(如图2)，转动过程中C，D在平面α上的射影从C，D变化到C′D′(如图3)，故图形面积的取值范围是24，12.]在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.[跟进训练]1.如图，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1的中点P的距离的最大值为________．2＋2[从题图分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而OP≤OQ＋QP＝12AB1＋2＝2＋2，当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．]类型2动点轨迹问题【例2】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．2[如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，同理可得C1H∥CF，因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝12＋12＝2.]空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面圆锥，圆柱侧面，球面交线得圆、圆锥曲线.很少有题目会脱离这三个方向.注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义)[跟进训练]2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P的轨迹是()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分B[把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为π3，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B．]类型3翻折问题【例3】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________cm3.415[如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝36BC．设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝DG2－OG2＝25－10x＋x2－x2＝25－10x，S△ABC＝12×23x×3x＝33x2，则三棱锥的体积V＝13S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5.令f(x)＝25x4－10x5，x∈0，52，则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈2，52时，f′(x)0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415cm3.]在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型规律的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.[跟进训练]3.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝12AD＝1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P­ABCEF的体积的取值范围为________．0，13[因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF.设DF＝x(0＜x＜1)，则EF＝x，AF＝2－x，S五边形ABCEF＝S四边形ABCD－S△DEF＝12(1＋2)×1－12x2＝12(3－x2)．所以五棱锥P­ABCEF的体积为V(x)＝13×12(3－x2)·x＝16(3x－x3)．令V′(x)＝12(1－x2)＝0，得x＝1或x＝－1(舍)．当0＜x＜1时，V′(x)＞0，V(x)递增，故V(0)＜V(x)＜V(1)，V(0)＝0，V(1)＝13.所以V(x)的取值范围是0，13.]类型4动态最值问题【例4】在正四面体A­BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________．23，1[本例可用极端位置法来加以分析．先寻找垂直：记O为△ACD的中心，G为OC的中点，则BO⊥平面ACD，EG⊥平面ACD．如图1，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值为1.由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图2)，其正弦值为23.图1图2综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为23，1]在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.[跟进训练]4．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝2，P为该长方体侧面CC1D1D内(含边界)的动点，且满足tan∠PAD＋tan∠PBC＝22.则四棱锥P­ABCD体积的取值范围是()A．0，23B．23，23C．0，43D．23，43B[如图所示，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝PDAD＝PD，在Rt△PBC中，tan∠PBC＝PCBC＝PC，因为tan∠PAD＋tan∠PBC＝22，所以PD＋PC＝22.因为PD＋PC＝22＞CD＝2，所以点P的轨迹是以C，D为焦点，2a＝22的椭圆．如图所示：a＝2，c＝1，b＝2－1＝1，椭圆的标准方程为：x22＋y2＝1.又P1(0,1)，联立x＝1x22＋y2＝1，解得y＝±22.所以P2－1，22，P31，22.当点P运动到P1位置时，此时四棱锥P­ABCD的高最大，所以(VP­ABCD)max＝13×SABCD×P1O＝13×2×1＝23.当点P运动到P2或P3位置时，此时四棱锥P­ABCD的高最短，所以(VP­ABCD)min＝13×S四边形ABCD×P2D＝13×2×22＝23.综上所述：23≤VP­ABCD≤23.]