【新高考复习】课时跟踪检测（二十八） 复数 作业

课时跟踪检测（二十八）复数1．已知i为虚数单位，z＝41－i，则复数z的虚部为()A．－2iB．2iC．2D．－2解析：选Cz＝41－i＝41＋i1－i1＋i＝41＋i2＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.2．设复数z＝1－i1＋i，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，则f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－1解析：选C∵z＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.3．若z＝()m2＋m－6＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为()A．－2B．2C．－3D．3解析：选C因为z＝()m2＋m－6＋(m－2)i为纯虚数，所以m－2m＋3＝0，m－2≠0，解得m＝－3，故选C.4．复数z＝2i41＋i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题得复数z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21－i2＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有－a－2＝0，a－2≠0，解得a＝－2，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1B．7或－7C．－3D．3解析：选A∵z＝a＋3i，∴z＝a－3i，∴z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·z2为实数，则m＝()A．－23B．23C．3D．－3解析：选B因为z1·z2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝23.故选B.8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则z1z2＝()A.45－35iB．－45＋35iC．－45－35iD．45＋35i解析：选A由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得z1z2＝3－i3＋i＝45－35i.9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝()A．5B．5C．3D．3解析：选B由已知得(a＋i)2＝bi，所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，所以|z|＝a2＋b2＝5.10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：选C∵|z－i|≤2，∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部(如图)．∴|z|的最大值为3.11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为()A．4－iB．－3－2iC．5D．－1＋4i解析：选D由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，设D(x，y)，则AB―→＝(3，－2)，DC―→＝(2－x,2－y)，因为AB―→＝DC―→，所以2－x＝3，2－y＝－2，解得x＝－1，y＝4.所以点D的坐标为(－1,4)，所以点D对应的复数为－1＋4i.12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则()A．|z|＝35B.z＝－1＋2i5C．复数z的实部为－1D．复数z对应复平面上的点在第二象限解析：选BD因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝i2－i＝i2＋i2－i2＋i＝－15＋25i，所以|z|＝－152＋252＝55，故A错误；z＝－15－25i，故B正确；复数z的实部为－15，故C错误；复数z对应复平面上的点－15，25在第二象限，故D正确．13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝11－i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为()A.132B．262C.102D．52解析：选B由z－2i＝11－i，得z＝2i＋11－i＝2i＋1＋i1－i1＋i＝12＋52i，∴复数z在复平面内的点的坐标为12，52，到原点的距离为14＋254＝262.14．(多选)已知集合M＝{}m|m＝in，n∈N，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()A．(1－i)(1＋i)B．1－i1＋iC.1＋i1－iD．(1－i)2解析：选BC根据题意，M＝{}m|m＝in，n∈N，∴M＝{}－1，1，i，－i.选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；选项B中，1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－i∈M；选项C中，1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝i∈M；选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝_______.解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝3－a＋(1－b)i，则|z1|2＝a2＋b2＝4，|z2|2＝3－a2＋1－b2＝4，即a2＋b2＝4，3a＋b＝2，所以|z1－z2|2＝(2a－3)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(3a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝23.法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(3，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝23，即|z1－z2|＝23.法三：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA―→，OB―→，则z1＋z2对应向量OA―→＋OB―→.由题知|OA―→|＝|OB―→|＝|OA―→＋OB―→|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量BA―→.由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin60°＝23.故|z1－z2|＝|BA―→|＝23.答案：2316．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点落在x轴上方，则有3－m0，解得m3.答案：(－∞，3)17．已知i为虚数单位，z＝1cos2θ－isin2θ对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．解析：∵z＝1cos2θ－isin2θ＝cos2θ＋isin2θcos2θ－isin2θcos2θ＋isin2θ＝cos2θ＋isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴2kπ＋π2＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋π4＜θ＜kπ＋π2，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4＜θ＜2nπ＋π2，θ为第一象限角；当k＝2n－1(n∈Z)时，2nπ－3π4＜θ＜2nπ－π2，θ为第三象限角．综上可得，θ是第一、三象限的角．答案：一、三18．满足条件|z－i|＝|1＋3i|的复数z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为________________．解析：设z＝x＋yi，x，y∈R.∵|z－i|＝|1＋3i|＝2，∴|x＋(y－1)i|＝2，∴x2＋y－12＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.答案：x2＋(y－1)2＝4