【新高考复习】第七节 直线与圆锥曲线的位置关系 教案

第七节直线与圆锥曲线的位置关系核心素养立意下的命题导向1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.2．(弦长公式)过抛物线y＝14x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为y＝33x＋1，即x＝3(y－1)．由x2＝4y，x＝3y－1，消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝103，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝163.答案：163二、易错点练清1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.考点一直线与圆锥曲线的位置关系[典例](1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条(2)若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)[解析](1)设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝32p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则01m≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5.[答案](1)B(2)D[方法技巧]直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数[针对训练]1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：选B∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝4m2＋n2＞2，∴m2＋n2＜4.∴m29＋n24＜m29＋4－m24＝1－536m2＜1，∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点有2个．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，5)B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)解析：选C因为双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则由题意得ba2，所以e＝ca＝1＋ba21＋4＝5.考点二弦长问题[典例]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e＝32.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．[解](1)∵e2＝c2a2＝a2－b2a2＝34，∴a2＝4b2.又椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P(2,1)，∴4a2＋1b2＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为x28＋y22＝1.(2)设l的方程为y＝12x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝12x＋m，x28＋y22＝1，整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m2＋160，解得|m|2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.则|AB|＝1＋14×x1＋x22－4x1x2＝54－m2.点P到直线l的距离d＝|m|1＋14＝2|m|5.∴S△PAB＝12d|AB|＝12×2|m|5×54－m2＝m24－m2≤m2＋4－m22＝2.当且仅当m2＝2，即m＝±2时取得最大值．[方法技巧]求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．[针对训练]1．已知斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D．8105解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15，∴|AB|＝2|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·－85t2－4×4t2－15＝4255－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.2．设斜率为3的直线过抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝163，则p＝()A.12B．1C．2D．4解析：选C因为斜率为3的直线过抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点，所以直线方程为y＝3x－p2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝3x－p2，y2＝2px得3x－p22＝2px，整理得3x2－5px＋34p2＝0，所以x1＋x2＝5p3，因此||AB＝x1＋x2＋p＝8p3，又||AB＝163，所以8p3＝163，解得p＝2.3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由题意得直线方程为y＝3(x－1)，联立y＝3x－1，y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝103，∴|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋103＝163.答案：163考点三中点弦问题[典例]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为23.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.[解](1)由题意得e＝ca＝12，ab＝23，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，故椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF＝n－0－4－－1＝－n3，当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝3n＝y1－y2x1－x2.∵点M，N在椭圆E上，∴x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，整理得：x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y23＝0，又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴y0x0＝－n4，直线OP的斜率为kOP＝－n4，∵直线OD的斜率为kOD＝－n4，∴直线OD平分线段MN.[方法技巧]1．“点差法”的4步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．“点差法”的常见结论设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－b2a2；(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝b2a2；(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝py0(y0为中点P的纵坐标)．[针对训练]1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D．55解析：选C设直线x－y＋5＝0与椭圆x2a2＋y2b2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝1.由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得，x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2，所以b2a2＝14，于是椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝32.故选C.2．在椭圆x216＋y29＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得x2116＋y219＝1，x2216＋y229＝1，两式相减得x1＋x2x1－x216＋y1＋y2y1－y29＝0，所以x1＋x2x1－x216＝－y1＋y2y1－y29，即－9x1＋x216y1＋y2＝y1－y2x1－x2，因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，所以y1－y2x1－x2＝－932，故该直线方程为y－2＝－932(x－1)，即9x＋32y－73＝0.答案：9x＋32y－73＝03．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P1，32，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点G18，0，求k的取值范围．解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，∵抛物线y2＝