第2部分 专题3 第1讲　空间几何体 课件（共65张PPT）

专题三立体几何第1讲空间几何体第二部分核心专题师生共研考点1三视图、展开图、截面图01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷甲)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A­EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()ABCDD[根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D．]2．(2021·新高考卷Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．42B[设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝22，故选B．]3．(2021·全国卷乙)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．图①图②图③图④图⑤③④(答案不唯一，②⑤也可)[根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．]图1图2命题规律：以空间几何体为载体考查三视图、展开图及有关量的计算，以选择题、填空题的形式出现，题目中等偏难，分值5分．通性通法：(1)识别三视图的步骤①应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置；②根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；③被遮住的轮廓线应为虚线．(2)空间几何体表面距离最短问题：其解题思路常常是将几何体展开．一般地，多面体以棱所在的直线为剪开线展开，旋转体以母线为剪开线展开．(3)空间几何体的三类截面：轴截面、横截面与斜截面．利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．12341．[以正方体为载体]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()12341234C[过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图，则该几何体的侧视图为C．故选C．]12342.[以组合体为载体]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．161234B[由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，所以这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12.故选B．]12343．[以三棱锥为载体]如图1，在三棱锥D­ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为()图1图2A．6B．2C．3D．21234D[由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即侧视图一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为2.所以侧视图的面积为2.故选D．]12344．[以正三棱柱为载体]如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A．5B．31C．42D．61234B[将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B1于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝32，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin60°＝3×32＝32，所以C1D＝32＋4＝112，所以AC1＝AD2＋C1D2＝322＋1122＝31.]考点2空间几何体的表面积和体积02高考串讲·找规律考题变迁·提素养12341．(2021·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．32B．3C．322D．321234A[法一：由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为2，22，高为22，该四棱柱的高为1，所以该几何体的体积V＝12×(2＋22)×22×1＝32.故选A．1234法二：由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积V＝12×22×1－12×12×1＝32.故选A．]12342．(2021·全国卷甲)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．123439π[设该圆锥的高为h，则由已知条件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，则圆锥的母线长为h2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.]12343．(2020·新高考卷Ⅱ)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A­NMD1的体积为________．123413[如图，∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴S△ANM＝12×1×1＝12，∴VA­NMD1＝VD1­AMN＝13×12×2＝13.]12344．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.1234118.8[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]命题规律：空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容，题型既有选择题也有填空题，难度适中，分值5分．通性通法：求解几何体的表面积或体积的策略(1)直接法：对于规则几何体可直接利用公式计算；(2)割补法：对于不规则几何体，可采用“分割、补体”的思想，采用化整为零或化零为整求解．(3)轴截面法：对于旋转体的表面积问题，常常借助轴截面求解．(4)等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解不方便时，可采用转换底面的方式求解；尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采用等体积转换法求解．12341．[与生活情景交汇](2021·福州5月模拟)某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18m3，那么原正方体石料的体积是()A．0.196m3B．0.216m3C．0.225m3D．0.234m31234B[设原正方体石料的棱长为am，则原正方体石料的体积为a3m3，截去的八个四面体的体积为8×13×12×a2×a2×a2＝a36m3，则a3－a36＝56a3＝0.18，得a3＝0.216m3，即原正方体石料的体积为0.216m3，故选B．]12342．[以正四棱台为载体](2021·新高考卷Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长为2,4，侧棱长为2，则四棱台的体积为()A．20＋123B．282C．2823D．5631234C[如图，分别取上、下底面的中心O1，O，过B1作B1M⊥OB于点M，则OB＝22，O1B1＝2，BM＝2，B1M＝4－2＝2，故四棱台的体积为V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13×(4＋16＋8)×2＝2823，选C．]12343．[以侧面展开图为载体]已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.12341[法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.1234法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为12·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.]12344．[以三视图为载体]已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3.12347π3[根据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1的圆锥．上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1.1234法一：(分割法)几何体的体积是13×π×12×1＋π×12×1＋12×2＝7π3.法二：(补体法)几何体的体积是13×π×12×1＋12×π×12×(1＋3)＝7π3.]考点3与球有关的“切”“接”“截”问题03高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A．3B．32C．1D．32C[由等边三角形ABC的面积为934，得34AB2＝934，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝23×32AB＝33AB＝3.设球O的半径为R，则由球O的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝1，故选C．]2．(2021·全国卷甲)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为()A．212B．312C．24D．34A[如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱锥O­ABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝13×12×1×1×22＝212.]3．(2020·全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．23π[易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，所以内切球的体积V＝43πR3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.]命题规律：球与几何体的切、接问题是高考的常考考点，难度偏高，主要考查考生将空间问题转化为平面问题的能力，体现了考生的空间想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．通性通法：1.处理球的“切”“接”“截”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1)确定球心O和截面圆的圆心O′；(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；(3)利用|OO′|2＋r2＝R2计算相关量．12341．[三棱锥的外接球]三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P­ABC的外接球的体积为()A．272πB．2732πC．273πD．27π1234B[∵三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC．1234∵PA⊥PB，∴PA⊥PC