【新高考复习】第八节 第2课时 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题 教案

第2课时解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．技法一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例]如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D．62[解题观摩]由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得|AF1|＋|AF2|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF1|2＋|AF2|2＝12，解得a2＝2，故a＝2.所以双曲线C2的离心率e＝32＝62.[答案]D[名师微点]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[针对训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1解析：选B法一：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，AF2―→＝2F2B―→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.法二：由题意设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，∴13＝1－21a2，解得a2＝3.又c2＝1，∴b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则|PF||PA|的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)2＋4mxP，则|PF||PA|2＝xP＋m2xP＋m2＋4mxP＝11＋4mxPxP＋m2≥11＋4mxP2xP·m2＝12(当且仅当xP＝m时取等号)，所以|PF||PA|≥22，所以|PF||PA|的最小值为22.答案：22技法二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例](2021·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为()A.14B．34C.38D．12[解题观摩]由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，联立y＝kx－m＋nx2＝8y，得x2－8kx＋8km－8n＝0，因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，所以k1＋k2＝m2，k1k2＝n2，又由x2＝8y得y′＝x4，所以x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x2＝4k2，y2＝x218＝2k22，所以kAB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，因为点P(m，n)满足()x－22＋()y＋22＝1，所以1≤m≤3，因此14≤m4≤34，即直线AB斜率的最大值为34.故选B.[答案]B[名师微点](1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[针对训练]3．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.∵y1－y2x1－x2＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－b2a2＝－12，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22.即椭圆C的离心率e＝22.答案：22技法三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞3.[解题观摩]法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．联立y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1，消去y0并整理，得x20＝a2b2k2a2＋b2.①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝－2a1＋k2，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞3.法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，得x20a2＋k2x20b2＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2＜1，即(1＋k2)x20＜a2.②由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a21＋k22＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞3.法三：设P(acosθ，bsinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Q的坐标为a2cosθ，b2sinθ.|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.又A(－a,0)，所以kAQ＝bsinθ2a＋acosθ，即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ.从而可得|2akAQ|≤b2＋a2k2AQ＜a1＋k2AQ，解得|kAQ|＜33，故|k|＝1|kAQ|＞3.[名师微点]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[针对训练]4．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当t＝0时，若l与圆C相切，则M恰为AB中点，∴当t≠0时，这样的直线应有2条．不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即kMC·kAB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d＝|5－m|1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t2＝r，而由0＜t2＜3可得2＜r＜4.故r的取值范围为(2,4)．技法四妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例]如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩]把y＝b2代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，可得x＝±32a，那么B－32a，b2，C32a，b2，而F(c,0)，那么FB―→＝－32a－c，b2，FC―→＝32a－c，b2，又∠BFC＝90°，故有FB―→·FC―→＝－32a－c，b2·32a－c，b2＝c2－34a2＋14b2＝c2－34a2＋14(a2－c2)＝34c2－12a2＝0，则有3c2＝2a2，所以该椭圆的离心率为e＝ca＝63.[答案]63[名师微点]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[针对训练]5.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2,0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝83相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点．解：(1)圆B的圆心为B()－2，0，半径r＝42，||BC＝4.连接MC，由已知得||MC＝||MA，∵||MB＋||MC＝||MB＋||MA＝||BA＝r＝42||BC，∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为42的椭圆，即a＝22，c＝2，b2＝a2－c2＝4，∴点M的轨迹方程为x28＋y24＝1.(2)证明：当直线EF的斜率不存在时，直线EF的方程为x＝±83，E，F的坐标分别为83，83，83，－83或－83，83，－83，－83，OE―→·OF―→＝0.当直线EF斜率