【新高考复习】第一节 数列的概念及简单表示 教案

第六章数列第一节数列的概念及简单表示核心素养立意下的命题导向1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养．3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列的前n项和：数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．2．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.3．数列的通项公式与递推公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间递增数列an＋1an其中n∈N*的大小关系递减数列an＋1an分类常数列an＋1＝an[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(观察数列求通项公式)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝nn＋12D．an＝nn－12解析：选C观察数列1,3,6,10,15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝nn＋12，所以数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式为an＝nn＋12.2．(观察图形求通项公式)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳得an＝5n－4.答案：5n－43．(利用递推公式求项)数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝12an－1，则a4＝________.解析：由a1＝2，an＋1＝12an－1，得a2＝0，a3＝－1，a4＝－32.答案：－324．(由Sn求an)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(n－1)＝2；当n＝1时，a1＝S1＝2，所以an＝2.答案：an＝2二、易错点练清1．(忽视n为正整数)在数列－1,0，19，18，…，n－2n2中，若an＝0.08，则n＝()A.52B．8C.52或10D．10解析：选D由题意可得n－2n2＝0.08，解得n＝10或n＝52(舍去)．2．(忽视数列是特殊的函数)若an＝n2－5n＋3，则当n＝________时，an取得最小值．解析：an＝n2－5n＋3＝n－522－134，∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，a2＝a3＝－3.答案：2或33．(忽视对n＝1的验证)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2，则an＝________.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2)－[(n－1)2－2]＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝1－2＝－1，不满足上式．故an＝－1，n＝1，2n－1，n≥2.答案：－1，n＝1，2n－1，n≥2考点一利用an与Sn的关系求通项[典例](1)已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝__________.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.[解析](1)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，∵Sn≠0，∴1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，∴1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.[答案](1)6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2(2)－1n[方法技巧]1．已知Sn求an的3步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．[针对训练]1．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有()A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1D．an＝1，n＝12·3n－2，n≥2解析：选ABD由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，当n≥2时，an＝2Sn－1，两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，可得an＋1＝3an，即an＋1an＝3(n≥2)，又由a1＝1，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，所以a2a1＝2，所以数列的通项公式为an＝1，n＝1，2·3n－2，n≥2；当n≥2时，Sn＝an＋12＝2·3n－12＝3n－1，又由n＝1时，S1＝a1＝1，适合上式，所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1；又由Sn＋1Sn＝3n3n－1＝3，所以数列{Sn}为公比为3的等比数列，综上可得选项A、B、D是正确的．2．若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式为an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，即anan－1＝－2，故{an}是首项为1，公比为－2的等比数列．故an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－13．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝__________.解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝22n－1(n∈N*)．答案：22n－1考点二利用数列的递推关系求通项[典题例析](1)(2021·湛江模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，则an的表达式为()A．an＝24n－3B．an＝26n－5C．an＝24n＋3D．an＝22n－1(2)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.(3)在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．(4)若a1＝1，an＋1＝2an－3，则通项公式an＝________.[解析](1)数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，可得1an＋1＝3＋1an，所以数列1an是首项为12，公差为3的等差数列，所以1an＝12＋3(n－1)＝6n－52.可得an＝26n－5(n∈N*)．故选B.(2)由条件知an＋1－an＝n＋1，则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋22.(3)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈N*)．(4)由an＋1＝2an－3，得an＋1－3＝2(an－3)．所以数列{an－3}是首项为－2，公比为2的等比数列，则an－3＝－2×2n－1，即an＝－2n＋3.[答案](1)B(2)n2＋n＋22(3)an＝1n(n∈N*)(4)－2n＋3[方法技巧]由递推公式求通项公式的方法方法适用类型要点累加法an＋1＝an＋f(n)，变形为an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解累乘法an＋1＝f(n)an，变形为an＋1an＝f(n)利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1(an≠0，n≥2，n∈N*)求解待定系数法an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*)变形为an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系数法求t)，可得以p为公比的等比数列{an＋t}的通项公式，进而可求an取倒数法an＋1＝panqan＋r(p，q，r是常数)变形为1an＋1＝rp·1an＋qp①若p＝r，则1an是等差数列，且公差为qp，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解赋值法a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意对n＝1的情况进行讨论)[针对训练]1．已知在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋13＝4an＋13.因为a1＝3，所以a1＋13＝103.故数列an＋13是首项为103，公比为4的等比数列．所以an＋13＝103×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝103×4n－1－13.答案：an＝103×4n－1－132．根据下列条件，求数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)；(2)a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)；(3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)．解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由2nan＋1＝(n＋1)an，得an＋1an＝n＋12n.所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1＝n2n－1·n－12n－2·n－22n－3·…·22·1·1＝n2n－1.(3)因为an＝3an－1＋4(n≥2)，所以an＋2＝3(an－1＋2)．因为a1＋2＝3，所以{an＋2}是首项与公比都为3的等比数列．所以an＋2＝3n，即an＝3n－2.考点三数列的性质考法(一)数列的周期性[例1]在数列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)，则a2021的值为()A．－14B．5C.45D.54[解析]因为在数列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－1－14＝5，a3