第2部分 专题5 强基专题5　隐圆问题 课件（共21张PPT）

专题五解析几何强基专题5隐圆问题第二部分核心专题师生共研考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的相关知识来解决问题，这类问题称为“隐圆”问题．类型1利用圆的定义或垂直关系确定隐圆【例1】(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是()A．7B．6C．5D．4(2)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．(1)B(2)2－22，2＋22[(1)如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|PO|＝12|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.(2)由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆；又因为圆M上存在点P，经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋a－42≤2＋1，即1≤a2＋a－42≤3，解得实数a的取值范围是2－22，2＋22.]题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆.[跟进训练]1．如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．－65，0[由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，所以2－12a2＋a＋321＋2,15a2＋6a＋99，5a2＋6a＋8＞0，5a2＋6a＜0，解得a∈－65，0.]类型2两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ＞0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)【例2】在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋3y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________．－133，1[由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得x＋12＋y2＝2x－12＋y2，即x－532＋y2＝169，因此圆x－532＋y2＝169与直线x＋3y＋m＝0有交点，即53＋m2≤43，解得－133≤m≤1.故m的取值范围为－133，1.]在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.[跟进训练]2．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则实数k的取值范围是________．－377，377[由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，所以满足|PA|＝2|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝|8k|k2＋1≤6，解得－377≤k≤377.]类型3两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆(距离平方圆)【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．(1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由.(2)若圆C上存在唯一的点Q，使得QA→·QB→＋2＝λ，求λ的值．[解](1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|2－02＋0－122＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.(2)设Q(x0，y0)，则λ＝QA→·QB→＋2＝x20－1＋y20－2y0＋2＝x20＋(y0－1)2，由题意知，圆C与圆x20＋(y0－1)2＝λ有且只有一个公共点，所以λ＝9－45或λ＝9＋45.满足条件两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值的轨迹为圆；在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.[跟进训练]3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是________．－72，72[设M(x，y)，因为MA2＋MO2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C′：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－12，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－72≤y≤72，所以点M的纵坐标的取值范围是－72，72.]