【新高考复习】课时跟踪检测（五十四） 二项式定理 作业

课时跟踪检测（五十四）二项式定理一、基础练——练手感熟练度1.x－2x6的展开式中x32的系数为()A．－12B．12C．－192D．192解析：选A二项式x－2x6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6·(－2)r·x2r33-，令3－3r2＝32，求得r＝1，可得展开式中x32的系数为－12，故选A.2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为()A．50B．55C．45D．60解析：选B(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C45＋C46＋C47＝55.故选B.3．已知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为()A．20B．15C．10D．5解析：选D由题意知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(x＋1)5的展开式中x4的项为C15x4＝5x4，所以x4的系数为5，故选D.4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为()A．－5B．－15C．－25D．25解析：选B因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C35(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C35＝－15.故选B.5．(2020·天津高考)在x＋2x25的展开式中，x2的系数是________．解析：二项式x＋2x25的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·x5－r·2x2r＝Cr5·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，在x＋2x25的展开式中，x2的系数是C15·21＝10.答案：106．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________.解析：由C24m2－C34m＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－43，因为m∈Z，所以m＝2.答案：2二、综合练——练思维敏锐度1．二项式x－ax8的展开式中x2的系数是－7，则a＝()A．1B.12C．－12D．－1解析：选B由题意，二项式x－ax8的展开式中的通项公式Tr＋1＝Cr8(－a)rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以含x2项的系数为C38(－a)3＝－7，解得a＝12.2．若ax－1x6展开式的常数项为60，则a值为()A．4B．±4C．2D．±2解析：选D因为ax－1x6展开式的通项为Tk＋1＝Ck6a6－kx6－k(－1)kxk2＝Ck6a6－k(－1)kxk36-2，令6－32k＝0，则k＝4，所以常数项为C46a6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故选D.3．(2021年1月新高考八省联考卷)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60B．80C．84D．120解析：选D(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C22＋C23＋…＋C29＝C33＋C23＋…＋C29＝C310＝120.故选D.4．在x－1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A．－126B．－70C．－56D．－28解析：选C∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，x－1x8的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk8x328-k(k＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C38＝－56.5．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为()A．560B．－560C．280D．－280解析：选A取x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式x2－2x7的展开式的通项为Tr＋1＝Cr7·(x2)7－r·－2xr＝Cr7·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式x2－2x7的展开式中含x2项的系数为C47·(－2)4＝560，故选A.6．(2021·海口调研)(32＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为()A．1B．20C．21D．31解析：选C因为(32＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝Ck5(32)5－kxk＝Ck5235－kxk，因此，要使系数为有理数，只需5－k3为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，因此系数为有理数的项为C25(32)3x2，x5，故所求系数之和为20＋1＝21.7．(2021·辽宁八市重点高中联考)已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m＝()A.74B.72C．4D．7解析：选B设(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝72，故选B.8．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4a1＋a3的值为()A．－6160B．－122121C．－34D．－90121解析：选C由二项式定理，得a1＝－C15·24＝－80，a2＝C25·23＝80，a3＝－C35·22＝－40，a4＝C45·2＝10，所以a2＋a4a1＋a3＝－34，故选C.9．在x－ax5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为()A．5B．10C．15D．20解析：选Bx－ax5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r－axr＝(－a)rCr5x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C25＝10，故选B.10．(多选)若x－axn的展开式中最中间的一项是－52xx，则()A．a＝12B．展开式中所有项的二项式系数之和为64C．展开式中的所有项的系数和为164D．展开式中的常数项为1516解析：选BCD因为x－axn的展开式中存在最中间的一项，所以n必然为偶数，且最中间的一项为＝＝－52xx，所以·(－a)2n＝－52，n4＝32，解得n＝6，a＝14，故A错误；展开式中所有项的二项式系数之和为2n＝26＝64，故B正确；x－axn＝x－12x6，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为1－126＝164，故C正确；因为二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6x6－r－12xr＝Cr6－12rx362r，令6－3r2＝0，得r＝4，所以展开式中的常数项为T5＝C46×－124＝1516，故D正确．故选BCD.11．已知x－ax10的展开式中含有x112的系数是－120，则a＝________.解析：由二项式定理的展开式可得Cr10x10－r－axr＝Cr10()－arx1032r.因为x112的系数是－120，所以x1032r＝x112.解得r＝3.所以系数为C310()－a3＝－120.解得a＝1.答案：112．若(1＋2020x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020，则a12020＋2a220202＋3a320203＋…＋1010a101020201010＝__________.解析：因为nan2020n＝n2020nCn20202020n＝nCn2020＝2020Cn－12019，所以a12020＋2a220202＋3a320203＋…＋1010a101020201010＝2020(C02019＋C12019＋…＋C10092019)＝2020×220192＝2020×22018.答案：2020×2201813．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝62，则logn25等于________．解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝22n－12－1＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所以logn25＝2.答案：214．(2021·青岛模拟)已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，设Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an，数列1Sn的前n项和为Tn，当|Tn－1|≤12020时，n的最小整数值为________．解析：因为(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，令x＝1，得Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以1Sn＝12n，所以Tn＝121－12n1－12＝1－12n，所以|Tn－1|≤12020即为12n≤12020，所以n≥11，即n的最小整数值为11.答案：1115．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.16．已知x＋124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C0n，12C1n，14C2n，由已知得2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得n＝8(n＝1舍去)．(2)x＋124x8的展开式的通项Tr＋1＝Cr8(x)8－r·124xr＝2－rCr8x344-r(r＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rCr8，则ar＋1ar＝2－rCr82－r－1Cr－18＝9－r2r≥1，ar＋1ar＋2＝2－rCr82－r＋1Cr＋18＝2r＋18－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.