【新高考复习】第四节 随机变量的分布列、均值与方差 教案

第四节随机变量的分布列、均值与方差核心素养立意下的命题导向1.结合离散型随机变量及其分布列的概念，考查常见离散型分布列的求法，凸显数据分析、数学运算的核心素养．2．结合具体实例，考查超几何分布的特征及应用，凸显数学建模的核心素养．3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．4．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念、性质及均值方差(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②∑ni＝1pi＝1.(3)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(4)称D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．3．常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．4．均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(8)若X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则E(X)＝nMN，D(X)＝nMN－MN－nN2N－1；(9)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(随机变量的概念)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数解析：选C选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.2．(分布列的性质)设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p的值为()A.16B．13C.14D．112解析：选C由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.3．(方差的计算)已知随机变量X的分布列为X01234P0.10.2a0.20.1则D(X)＝()A．1.44B．1.2C.1.2D．2解析：选B由分布列性质知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.4．(超几何分布)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A.3235B．1235C.335D．235解析：选B设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝C12C213C315＝1235.二、易错点练清1．(随机变量的概念不清)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值为0,1,2,3.答案：0,1,2,32．(分布列的性质使用不当)已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.解析：由分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝22a＝13.答案：13考点一离散型随机变量的分布列考法(一)离散型随机变量分布列的性质[例1]离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为()A.23B．34C.45D．56[解析]由11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a＝1，知45a＝1，得a＝54.故P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12×54＋16×54＝56.[答案]D[方法技巧]离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．考法(二)离散型随机变量分布列的求法[例2]一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列．[解](1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，∵f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，∴从中任取两个相加即可得到一个奇函数．故P(A)＝C23C26＝15.(2)易知ξ的所有可能取值为1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C13C16＝12，P(ξ＝2)＝C13C16·C13C15＝310，P(ξ＝3)＝C13C16·C12C15·C13C14＝320，P(ξ＝4)＝C13C16·C12C15·C11C14·C13C13＝120.故ξ的分布列为ξ1234P12310320120[方法技巧]求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．[提醒]求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.考法(三)超几何分布[例3]某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．[解](1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的分布列为X0123P43518351235135[方法技巧]求超几何分布的分布列的步骤[针对训练]1．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)解析：选C由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．2．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13C27＋C03C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．故P(X＝0)＝C04C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C06C310＝130.所以随机变量X的分布列为X0123P1612310130考点二离散型随机变量的均值与方差考法(一)离散型随机变量的均值与方差[例1]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13，所以事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以随机变量X的分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.方差D(X)＝415×(0－1)2＋715×(1－1)2＋415×(2－1)2＝815.[方法技巧]求离散型随机变量均值与方差的关键及注意(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．考法(二)均值与方差在决策中的应用[例2]某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：5G通信设备．受中美贸易战的影响，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[解]若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300－150P7929∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X2500－3000P3513115∴E(X2)＝500×35＋(