第2部分 专题5 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 课件（共67张PPT）

专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质第二部分核心专题师生共研考点1圆锥曲线的定义、标准方程01高考串讲·找规律考题变迁·提素养12341．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．21234B[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×6＝3，故选B．1234法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝b2tanθ2＝3tan45°＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]12342．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.下列结论成立的是()①若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上；②若m＝n0，则C是圆，其半径为n；③若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnx；④若m＝0，n0，则C是两条直线．A．①②B．②③C．②③④D．①③④1234D[对于①，∵mn0，∴01m1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于②，∵m＝n0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于③，∵mn0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mnx，正确；对于④，∵m＝0，n0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选D．]12343．(2021·新高考卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B．12C．9D．61234C[由椭圆C：x29＋y24＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤|MF1|＋|MF2|22＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]12344．(2021·全国卷甲)已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．12348[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.]命题规律：以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想．通性通法：求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．(3)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．12341．[双曲线的标准方程]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A．x24－y216＝1B．x216－y24＝1C．x216－y264＝1D．x264－y216＝11234A[易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.]12342．[抛物线的标准方程]如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x1234C[法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D．设BF＝a，则由已知得BC＝2a，由抛物线定义，得BD＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵AE＝|AF|＝3，AC＝3＋3a，∴2AE＝AC，即3＋3a＝6，从而得a＝1，FC＝3a＝3.∴p＝FG＝12FC＝32，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．1234法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝p1－cos60°＝3可知p＝31－12＝32，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]12343．[椭圆的标准方程](2021·北京高考)双曲线x2a2－y2b2＝1过点(2，3)，离心率为2，则双曲线的解析式为()A．x23－y2＝1B．x2－y23＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝11234B[双曲线离心率e＝ca＝2，故c＝2a，b＝3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2－33a2＝1a2＝1，故a＝1，b＝3，故双曲线方程为x2－y23＝1.]12344．[圆锥曲线定义的应用]设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．123415[因为椭圆x225＋y216＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义，得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．因为|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时|PM|＋|PF1|的最大值为10＋5＝15.]考点2圆锥曲线的几何性质02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷乙)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A．52B．6C．5D．2A[设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝254－2y＋122.当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A．]2．(2021·新高考卷Ⅱ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±3x[ba＝c2－a2a2＝e2－1＝3，故双曲线C的渐近线方程为y＝±3x.]3．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.x＝－32[法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以|OF||PF|＝|PF||FQ|，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.]命题规律：圆锥曲线的几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．通性通法：确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．提醒：(1)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(2)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.1．[椭圆的几何性质](2021·淄博二模)设椭圆C：x24＋y2＝1的左、右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A．离心率e＝52B．|PF2→|的最大值为3C．△PF1F2的面积最大为23D．|PF1→＋PF2→|的最小值为2D[由椭圆C：x24＋y2＝1，得a＝2，b＝1，∴c＝a2－b2＝3，则e＝ca＝32，故A错误；由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得|PF2→|的最大值为a＋c＝2＋3，故B错误；当P在椭圆短轴的一个端点时，△PF1F2的面积最大为12·2c·b＝bc＝3，故C错误；|PF1→＋PF2→|＝2|PO→|＝2x2＋y2＝23x24＋1，因为－2≤x≤2，所以1≤3x24＋1≤4，所以2≤|PF1→＋PF2→|≤4，故D正确，故选D．]2．[双曲线的几何性质]双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法不正确的是()A．双曲线C的离心率为62B．双曲线y24－x28＝1与双曲线C的渐近线相同C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为2D．|PF|的最小值为2D[对于A，因为a＝2，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以双曲线C的离心率为62，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±22x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝22x上，则直线PF的方程为y－0＝－2(x－6)，即y＝－2(x－6)，由y＝－2x－6，y＝22x，解得x＝263，y＝233，所以点P263，233，所以△PFO的面积S＝12×6×233＝2，所以C正确；对于D，因为点F(6，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝22x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为2，所以D错误．故选D．]3．[抛物线的几何性质]过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法不正确的是()A．OA→·OB→＝0B．∠A1FB1＝90°C．直线MB∥x轴D．|AF|·|BF|的最小值是94A[由题意可知，抛物线y2＝3x的焦点F的坐标为34，0，准线方程为x＝－34.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋34，代入y2＝3x，得y2－3my－94＝0，所以y1＋y2＝3m，y1y2＝－94，则x1x2＝my1＋34my2＋34＝916，所以OA→·OB→＝(x1，y1)·(x2，