第2部分 专题5 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 课件（共39张PPT）

专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值问题第二部分核心专题师生共研考点1定点问题01高考串讲·找规律考题变迁·提素养(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．[解](1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则AG→＝(a,1)，GB→＝(a，－1)．由AG→·GB→＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为x29＋y2＝1.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3n3.由于直线PA的方程为y＝t9(x＋3)，所以y1＝t9(x1＋3)．直线PB的方程为y＝t3(x－3)，所以y2＝t3(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于x229＋y22＝1，故y22＝－x2＋3x2－39，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①将x＝my＋n代入x29＋y2＝1得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.所以y1＋y2＝－2mnm2＋9，y1y2＝n2－9m2＋9.代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.解得n＝－3(舍去)或n＝32.故直线CD的方程为x＝my＋32，即直线CD过定点32，0.若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点32，0.综上，直线CD过定点32，0.命题规律：直线过定点、曲线过定点等问题常考查考生的数形结合思想和逻辑推理能力．通性通法：动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．1．[直线过定点的模型]已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(0,1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点．(1)若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：直线l过定点；(2)若点Q433，0总满足∠AQO＝∠BQO，证明：直线l过定点；(3)有如下结论：“圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)处的切线方程为x0y＋y0y＝r2”，类比也有结论：“椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1”．过直线x＝433上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点．[证明](1)设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴．设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，k1＋k2＝yA－1m＋－yA－1m＝－2m＝－1，得m＝2，此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.则k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.∴(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)，∴当且仅当m－1时，Δ0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2)．所以l过定点(2，－1)．(2)因为∠AQO＝∠BQO，所以kAQ＋kBQ＝0，kAQ＋kBQ＝y1x1－433＋y2x2－433＝kx1＋mx1－433＋kx2＋mx2－433＝0，即(kx1＋m)x2－433＋(kx2＋m)x1－433＝2kx1x2＋m－433k(x1＋x2)－833m＝0，得2k(4m2－4)－8kmm－433k－833m(1＋4k2)＝0，化简得m＝－3k，直线l的方程为y＝k(x－3)，所以，直线l恒过定点(3，0)．(3)设M433，t(t∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA的方程为x1x4＋y1y＝1.∵点M在MA上，∴33x1＋ty1＝1，①同理可得33x2＋ty2＝1，②由①②知AB的方程为33x＋ty＝1，即x＝3(1－ty)，③易知右焦点F(3，0)满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F(3，0)．2．[曲线过定点的模型]已知抛物线C：y2＝4x与过点(2,0)的直线l交于M，N两点，若MP→＝12MN→，PQ⊥y轴，垂足为Q，求证：以PQ为直径的圆过定点．[证明]由题意可知，直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋2(m∈R)，将x＝my＋2代入y2＝4x，消去x可得y2－4my－8＝0，显然Δ＝16m2＋320，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，因为MP→＝12MN→，所以P是线段MN的中点，设P(xP，yP)，则xP＝x1＋x22＝my1＋y2＋42＝2m2＋2，yP＝y1＋y22＝2m，所以P(2m2＋2,2m)，又PQ⊥y轴，垂足为Q，所以Q(0,2m)，设以PQ为直径的圆经过点A(x0，y0)，则AP→＝(2m2＋2－x0,2m－y0)，AQ→＝(－x0,2m－y0)，所以AP→·AQ→＝0，即－x0(2m2＋2－x0)＋(2m－y0)2＝0，化简可得(4－2x0)m2－4y0m＋x20＋y20－2x0＝0，①令4－2x0＝0，4y0＝0，x20＋y20－2x0＝0，可得x0＝2，y0＝0，所以当x0＝2，y0＝0时，对任意的m∈R，①式恒成立，所以以PQ为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0)．考点2定值问题02高考串讲·找规律考题变迁·提素养(2020·新高考卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，且过点A(2,1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．[解](1)由题设得4a2＋1b2＝1，a2－b2a2＝12，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为x26＋y23＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入x26＋y23＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－61＋2k2.①由AM⊥AN知AM→·AN→＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k2＋1)2m2－61＋2k2－(km－k－2)4km1＋2k2＋(m－1)2＋4＝0.整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－23k－13.于是MN的方程为y＝kx－23－13(k≠1)．所以直线MN过点P23，－13.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由AM→·AN→＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.又x216＋y213＝1，可得3x21－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，x1＝23.此时直线MN过点P23，－13.令Q为AP的中点，即Q43，13.若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝12|AP|＝223.若D与P重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点Q43，13，使得|DQ|为定值．命题规律：以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，由题设条件给出的直线或圆锥曲线运动变化时得到的图形中，探求线段长为定值、直线的斜率或斜率之和(积)等为定值是高考考查圆锥曲线几何性质的一类常见题型，培养逻辑推理数学建模、数学运算的核心素养．通性通法：求解定值问题的两大途径(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[借助根与系数的关系求定值]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，其右顶点为A，下顶点为B，定点C(0,2)，△ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．[解](1)由题意可知：点A(a,0)，B(0，－b)，因为△ABC的面积为3，所以12×(2＋b)×a＝3，又因为e＝ca＝32，所以a＝2b，所以12×(2＋b)×2b＝3，解得b＝1(负值舍去)，所以a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可知，直线PQ的斜率存在，故设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线BP的方程为y＝y1＋1x1x－1，令y＝0，得点M的横坐标xM＝x1y1＋1，直线BQ的方程为y＝y2＋1x2x－1，令y＝0，得点N的横坐标xN＝x2y2＋1，所以xM·xN＝x1x2y1＋1y2＋1＝x1x2kx1＋3kx2＋3＝x1x2k2x1x2＋3kx1＋x2＋9，把直线y＝kx＋2代入椭圆x24＋y2＝1，得：(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，所以x1＋x2＝－16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2，所以xM·xN＝121＋4k212k21＋4k2＋3k－16k1＋4k2＋9＝121＋4k291＋4k2＝43.故M，N的横坐标的乘积是定值43.