【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 §10.5　离散型随机变量的分布列、

§10.5离散型随机变量的分布列、均值与方差考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．3．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．4．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)5．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，即X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．微思考1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？提示x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．2．期望和算术平均数有何区别？提示期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．(×)题组二教材改编2．设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p为()A.16B.13C.14D.112答案C解析由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.3．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.4．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．答案0解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.题组三易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)答案C解析由随机变量X的分布列知，P(X－1)＝0.1，P(X0)＝0.3，P(X1)＝0.5，P(X2)＝0.8，则当P(Xa)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．题型一分布列的求法例1一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．解(1)设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47，X的分布列为X1234P1354352747思维升华离散型随机变量分布列的求解步骤跟踪训练1有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列．解(1)因为当X＝2时，有C2n种方法，所以C2n＝6，即nn－12＝6，也即n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝13，P(X＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X的分布列为X0234P124141338题型二均值与方差例2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．跟踪训练2现有A，B，C3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为23，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的均值E(X)＝________.答案53解析由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，由于P(X＝0)＝112，故13(1－p)2＝112，∴p＝12.P(X＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝412＝13，P(X＝2)＝23×12×12＋23×12×12＋13×12×12＝512，P(X＝3)＝23×12×12＝16，∴E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.题型三超几何分布例3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．解(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．P(X＝1)＝C15C33C48＝114，P(X＝2)＝C25C23C48＝37，P(X＝3)＝C35C13C48＝37，P(X＝4)＝C45C03C48＝114.所以随机变量X的分布列为X1234P1143737114所以E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．跟踪训练3某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；(2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和均值．解(1)抽取的5人中男员工的人数为545×27＝3，女员工的人数为545×18＝2.(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为0,1,2.根据题意，P(X＝0)＝C33C02C35＝110，P(X＝1)＝C23C12C35＝35，P(X＝2)＝C13·C22C35＝310.随机变量X的分布列是X012P11035310均值E(X)＝0＋1×35＋2×310＝65.课时精练1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点答案D解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于()A.19B.16C.13D.14答案C解析由分布列的性质，得1＋2＋32a＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝22×3＝13.3．(2021·沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝a