【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.2 第1课时　单调性与最大(小)

§2.2函数的基本性质考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．微思考1．函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，fx1－fx2x1－x20(0)，能否判断f(x)在区间D上的单调性？提示能，fx1－fx2x1－x20(0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减)．2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k0)，y＝1fx在区间D上单调递减．(×)(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称．(√)题组二教材改编2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x答案C解析f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝x2＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋2－x为偶函数．3．函数y＝xx－1在区间[2,3]上的最大值是________．答案2解析函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2,3]上为减函数，当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．函数f(x)＝(x＋1)x－1x＋1是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案非奇非偶解析f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数．6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，解得－1≤a1.第1课时单调性与最大(小)值题型一确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)函数212log(6)yxx的单调递增区间为()A.12，3B.－2，12C．(－2,3)D.12，＋∞答案A解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则12logyt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为12，3，故选A.(2)设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解方法一设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．方法二f′(x)＝ax′x－1－axx－1′x－12＝ax－1－axx－12＝－ax－12.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．(2)已知a0，函数f(x)＝x＋ax(x0)，证明：函数f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．证明方法一(定义法)设x1x20，f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2＝x1－x2x1x2－ax1x2，∵x1x20，∴x1－x20，x1x20，当x1，x2∈(0，a]时，0x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调递减；当x1，x2∈[a，＋∞)时，x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[a，＋∞)上单调递增．方法二(导数法)f′(x)＝1－ax2＝x2－ax2(x0)，令f′(x)0⇒x2－a0⇒xa，令f′(x)0⇒x2－a0⇒0xa，∴f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则()A．233231lo2g)(2)4(fffB．23323(2)(2g)1lo4fffC．23323(2)(2)1log4fffD．23332(2)(2)1log4fff答案C解析f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，又log341,23322102，∴23323(log2()4)2fff，即23323(2)(2)1log4fff.(2)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a2bB．a2bC．ab2D．ab2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a22b＋log22b，即f(a)f(2b)，∴a2b.[高考改编题]已知2a＋log2a4b＋2log4b＋1，则()A．a2bB．a2bC．ab2D．ab2答案A解析4b＋2log4b＋1＝22b＋222logb＋1＝22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a22b＋log22b，∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，∴a2b.命题点2求函数的最值例4(2021·深圳模拟)函数y＝x2＋4x2＋5的最大值为________．答案25解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号)．即y的最大值为25.命题点3解函数不等式例5已知函数f(x)＝13x－log2(x＋2)，若f(a－2)3，则a的取值范围是________．答案(0,1)解析由f(x)＝13x－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)3，得f(a－2)f(－1)，即－2a－2－1，即0a1.命题点4求参数的取值范围例6如果函数f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么实数a的取值范围是()A．(0,2)B．(1,2)C．(1，＋∞)D.32，2答案D解析因为对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20，所以y＝f(x)在R上是增函数．所以2－a0，a1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a2.故实数a的取值范围是32，2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．b