【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.2 第3课时　函数性质的综合问题

第3课时函数性质的综合问题题型一函数的单调性与奇偶性例1(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)＝lnx＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．cbaC．abcD．acb答案C解析当x0时，f(x)＝lnx＋ex为增函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，又π3log2312－0.20，∴f(π)f(log23)f(2－0.2)，∴abc.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．[高考改编题]若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是______，满足fxx0的x的取值范围是______．答案[－1,1]∪[3，＋∞)(－2,0)∪(0,2)解析由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示，∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2，解得－1≤x≤1或x≥3.当fxx0时，xf(x)0，即f(x)的图象在二、四象限，即－2x0或0x2.思维升华解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式．跟踪训练1(1)已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝1－|x|C．f(x)＝－x3D．f(x)＝ln(x2＋3)答案C解析由①知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知f(x)为奇函数．(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是________．答案13，23解析依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，∴|2x－1|13，即－132x－113，解得13x23.题型二函数的奇偶性与周期性例2(1)(2021·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2023)等于()A．20192B．1C．0D．－1答案D解析根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2023)＝f(－1＋2024)＝f(－1)，又函数y＝f(x)为奇函数，且x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2023)＝－1.(2)(多选)(2021·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则()A．f(2019)＝f(2017)B．f(2019)＝f(2020)C．f(2020)f(2019)D．f(2020)f(2018)答案AC解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2017)＝f(1)，f(2018)＝f(2)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(2019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2020)＝f(4)＝－f(0)＝0，又因为f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(2)f(1)f(0)＝0，即f(2019)＝f(2017)，f(2020)f(2019)．思维升华已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．跟踪训练2(1)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2020)＋f(2021)＝________.答案0解析依题意f(x)为奇函数，且周期为2，∴f(2020)＋f(2021)＝f(0)＋f(1)，∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②解得f(1)＝f(－1)＝0，∴f(2020)＋f(2021)＝0.(2)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2)解析∵f(x)为偶函数，且周期为3，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)1，∴f(5)＝2a－31，即a2.题型三函数的奇偶性与对称性例3(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4－x)＝－f(x)，则f(x)的周期为()A．－4B．2C．4D．6答案C解析∵f(4－x)＝－f(x)，∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，∴f(－x)＝－f(x＋4)，又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)．∴T＝4.(2)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值为________．答案4解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2020)＋f(2022)＝f(2020)＋f(2020＋2)＝f(2020)＋f(－2020)＝f(2020)－f(2020)＝0，所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.思维升华由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图象判断周期性．跟踪训练3函数f(x)满足f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是_______．(填序号)①f(x)的周期为8；②f(x)关于点(－1,0)对称；③f(x)为偶函数；④f(x＋7)为奇函数．答案①②④解析∵f(x－1)为奇函数，∴f(x－1)的图象关于(0,0)对称，∴f(x)的图象关于点(－1,0)对称，又f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)的图象关于点(－1,0)和直线x＝1对称，∴f(x)的周期为8，∴①②正确，③不正确．∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，又f(x－1)为奇函数，∴f(x＋7)为奇函数，故④正确．题型四函数的周期性与对称性例4(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(x)在[－6，－3]上单调递减C．f(x)关于x＝3对称D．f(100)＝9答案ACD解析f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确．思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练4函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________．答案f(－25)f(－80)f(11)解析依题意，f(x)的周期为8，且f(x)是奇函数，其图象关于x＝2对称，当x∈[0,2]时，f(x)单调递增，∴f(x)在[－2,2]上单调递增，又f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，∴f(－1)f(0)f(1)．即f(－25)f(－80)f(11)．课时精练1．函数f(x)＝x＋9x(x≠0)是()A．奇函数，且在(0,3)上是增函数B．奇函数，且在(0,3)上是减函数C．偶函数，且在(0,3)上是增函数D．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案B解析因为f(－x)＝－x＋9－x＝－x＋9x＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋9x为奇函数．又f′(x)＝1－9x2，在(0,3)上f′(x)0恒成立，所以f(x)在(0,3)上是减函数．2．f(x)为R上的奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，当x∈－52，0时，f(x)＝2x－1，则f(16)的值为()A.12B．－12C.32D．－32答案A解析∵f(x＋5)＝f(x)，∴T＝5，∴f(16)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝12.3．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(lnx)f(2)，则x的取值范围是()A．(0，e2)B．(e－2，＋∞)C．(e2，＋∞)D．(e－2，e2)答案D解析根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(lnx)f(2)⇔|lnx|2，即－2lnx2，解得e－2xe2，即x的取值范围是(e－2，e2)．4．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝13fx且f(2)＝2，则f(2020)的值为()A.12B．2C.213D.132答案D解析∵f(x＋2)＝13fx，∴f(x＋4)＝13fx＋2＝1313fx＝f(x)，∴T＝4，f(2020)＝f(4)＝13f2＝132.5．(多选)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A．f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数答案ABC解析由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的函数．所以函数f(x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0),(0,0)对称．所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)都是奇函数．6．(多选)(2020·全国Ⅲ改编)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有如下四个命题，其