【新高考复习】课时跟踪检测（三） 不等式的性质及一元二次不等式 作业

课时跟踪检测（三）不等式的性质及一元二次不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·大连模拟)已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为()A．p≤qB．p≥qC．pqD．pq解析：选D因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝10，所以pq，故选D.2．若－1αβ1，则下列各式中恒成立的是()A．－2α－β0B．－2α－β－1C．－1α－β0D．－1α－β1解析：选A∵－1αβ1，∴－1α1，－1β1，α－β0，∴－2α－β0.3．不等式2x2－x－30的解集是()A.－32，1B．(－∞，－1)∪32，＋∞C.－1，32D.－∞，－32∪(1，＋∞)解析：选B2x2－x－30可化为(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1，所以不等式2x2－x－30的解集是(－∞，－1)∪32，＋∞.故选B.4．若实数m，n满足mn0，则()A．－1m－1nB.m＋nm＋nC.12m12nD．m2mn解析：选B取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立(事实上2＋12＋1)．5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－26≤m≤26.答案：[－26，26]二、综合练——练思维敏锐度1．(多选)设a，b为非零实数，且ab，则下列不等式恒成立的是()A．a2abB．a2b2C.1ab21a2bD．a3b3解析：选CD对于A，当a＝2，b＝3时，ab，但222×3，故A中不等式不一定成立；对于B，当a＝－2，b＝1时，ab，但(－2)212，故B中不等式不一定成立；对于C，∵ab，∴1ab2－1a2b＝a－ba2b20，故C中不等式恒成立；对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)a＋12b2＋34b2，∵ab，∴a－b0，又a＋12b2＋34b20，∴a3b3，故D中不等式恒成立．故选C、D.2．已知a为实数，“a1”是“a2a3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a1时，a2－a3＝a2(1－a)0，所以a2a3；当a2a3时，a2(a－1)0，所以a1.综上，“a1”是“a2a3”的充要条件．故选C.3．若关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，即不等式axb的解集是(1，＋∞)，∴a＝b0，∴不等式(ax＋b)(x－3)0可化为(x＋1)(x－3)0，解得－1x3，∴所求解集是(－1,3)．4．设函数f(x)＝x－1，x≥0，2，x0，若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为()A．－3B．3C．－1D．1解析：选B因为xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，所以3为方程xf(x－1)＝a的根，所以a＝3f(3－1)＝3×(2－1)＝3，故选B.5．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－x20≥a成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－8]C．[1，＋∞)D．[－8，＋∞)解析：选A设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－x20≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.6．若a1，则关于x的不等式axx＋1≥1的解集是()A.－1，1a－1B.－1，1a－1C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪1a－1，＋∞解析：选D由axx＋1≥1得axx＋1－1≥0，即a－1x－1x＋1≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1，解得x－1或x≥1a－1，则不等式的解集为(－∞，－1)∪1a－1，＋∞，故选D.7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为x－12x2，则下列结论正确的是()A．a0B．b0C．c0D．a＋b＋c0解析：选BCD因为不等式ax2＋bx＋c0的解集为x－12x2，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a0，故A错误；易知2和－12是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有ca＝2×－12＝－10，－ba＝2＋－12＝320，又a0，所以b0，c0，故B、C正确；因为ca＝－1，所以a＋c＝0，又b0，所以a＋b＋c0，故D正确，故选B、C、D.8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A．(－3,5)B．(－2,4)C．[－3,5]D．[－2,4]解析：选D关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0可化为(x－1)(x－a)0.当a1时，不等式的解集为(1，a)；当a1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.9．若0a1，则不等式(a－x)x－1a0的解集是________________．解析：原不等式等价于(x－a)x－1a0，由0a1，得a1a，∴ax1a.答案：xax1a10．已知a＋b＞0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．解析：ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)·1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.答案：ab2＋ba2≥1a＋1b11．a，b∈R，a＜b和1a＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，1b＞1a，即1a＜1b；若ab＞0，则1a＞1b.所以a＜b和1a＜1b同时成立的条件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b12．若不等式x2＋ax－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________．解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－235，故a的取值范围为－235，＋∞.答案：－235，＋∞13．已知函数f(x)＝x2＋ax，x≥0，bx2－3x，x＜0为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．解析：若x0，则－x0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝x2－3x，x≥0，－x2－3x，x＜0.当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)14．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋30，即a2－6a－30，解得3－23a3＋23.∴不等式的解集为{a|3－23a3＋23}．(2)∵f(x)b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴－1＋3＝a6－a3，－1×3＝－6－b3，解得a＝3±3，b＝－3.故a的值为3±3，b的值为－3.15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．解：(1)由题意得，y＝1001－x10·1001＋850x.因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得12≤x≤134.又0≤x≤2，所以x的取值范围是12，2.16．已知函数f(x)＝x2－a2x＋1.(1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得Δ＝a24－4≤0，解得－4≤a≤4，∴实数a的取值范围为[－4,4]．(2)由题意得∃x∈[1,2]，使a2≤x－1x成立．令g(x)＝x－1x，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x)max＝g(2)＝32，∴a2≤32，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]．