第2部分 专题6 第2讲　基本初等函数、函数的应用 课件（共53张PPT）

专题六函数、导数和不等式第2讲基本初等函数、函数的应用第二部分核心专题师生共研考点1基本初等函数的图象与性质01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞单调递增B．是奇函数，且在－12，12单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12单调递减D[由2x＋1≠0，2x－1≠0，得函数f(x)的定义域为－∞，－12∪－12，12∪12，＋∞，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C．当x∈－12，12时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B．当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，易知函数f(x)单调递减，故选D．]2．(2020·全国卷Ⅲ)已知5584,13485.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．abcB．bacC．bcaD．cabA[因为45＝log8845，b＝log85，(845)5＝84＞55，所以845＞5，所以45＝log8845＞log85＝b，即b＜45.因为45＝log131345，c＝log138，(1345)5＝134＜85，所以1345＜8，所以45＝log131345＜log138＝c，即c＞45.又2187＝37＜55＝3125，所以lg37＜lg55，所以7lg3＜5lg5，所以lg3lg5＜57，所以a＝lg3lg5＜57＜45，而85＜57，所以5lg8＜7lg5，所以lg5lg8＞57，所以b＝lg5lg8＞57，所以c＞b＞a.]3．(2021·新高考卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.1[法一：(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二：(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2－2＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.法三：(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.]命题规律：以基本初等函数及其复合函数为载体，考查函数图象的应用、函数值的大小比较、函数性质的探究等问题，难度适中，分值5分．通性通法：基本初等函数解题的3个关键点(1)指对互化：ax＝N⇔x＝logaN.(2)图象特征：指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质，分0a1，a1两种情况；对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同．(3)复合函数：复合函数的性质往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．1．[图象与性质的交汇](2021·江苏常州模拟)函数f(x)＝2x＋2－xlnx2＋1＋x的图象大致为()ABCDA[易知y＝ln(x2＋1＋x)是奇函数，y＝2x＋2－x为偶函数，故函数f(x)是奇函数．排除BD选项，当x＞0时，ln(x2＋1＋x)＞ln1＝0,2x＋2－x＞0，所以，f(x)＞0，排除C选项．故选A．]2．[图象的应用]已知函数f(x)＝ex＋2(x0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A．－∞，1eB．(－∞，e)C．－1e，eD．－e，1eB[由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝lnx左右平移得到，当a＝0时，两函数有交点，当a0时，向右平移，两函数总有交点，当a0时，向左平移，由图可知，将函数y＝lnx的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝lna，即a＝e，∴ae.]3．[性质的应用](2021·河北高三二模)已知a＝1413，b＝log1415，2c＋c＝0，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜bC[a＝1413∈(0,1)，b＝log1415∈(1，＋∞)，因为f(x)＝2x＋x在R上单调递增，且f(－1)＝－12＜0，f(0)＝1＞0，所以c∈(－1,0)，所以c＜a＜b.故选C．]考点2函数与方程02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5B[令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)C[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．]3．(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃k＜0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k＜0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k＞0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是________．(1)(2)(4)[零点问题，转化成两个函数的交点来分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2，可转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的交点问题．对于(1)，当k＝0时，|lgx|＝2，f(x)有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k＜0，使y1＝|lgx|与y2＝kx＋2相切，(2)正确；对于(3)，若k＜0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lgx(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确．]命题规律：高考对函数零点的考查主要涉及零点的个数的判断、判断零点的存在性或零点所在区间、已知函数零点求参数或参数的范围，且常和函数的图象、性质、导数综合考查，综合性较强，突出考查学生等价转化的能力和数形结合的意识，考查学生直观想象的素养．通性通法：利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法1．[判断函数零点所在区间]函数f(x)＝2x＋lnx－3的零点所在的区间为()A．0，12B．12，1C．1，32D．32，2C[∵f(x)＝2x＋lnx－3在(0，＋∞)上是增函数，f12＝2－ln2－3＜0，f(1)＝2＋ln1－3＝－1＜0，f32＝22＋ln32－3＞0，f(2)＝4＋ln2－3＝1＋ln2＞0，∴f(1)f32＜0，根据零点存在定理可知，零点在区间1，32内．故选C．]2．[判断零点的个数]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝22x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为()A．1B．2C．3D．4C[对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝22x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．]3．[已知零点个数求参数范围]已知函数f(x)＝3x＋2，x≤0，log2x，x0若函数y＝|f(x)|－m的零点恰有4个，则实数m的取值范围是()A．310，32B．(0,2]C．0，23D．1，32B[由函数y＝|f(x)|－m的零点恰有4个，得方程|f(x)|＝m有4个根，画出y＝|f(x)|和y＝m的图象如图所示，结合图象可知，它们的图象有4个交点，则0＜m≤2，故选B．]考点3函数模型及应用03高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6C[由题意知4.9＝5＋lgV⇒lgV＝－0.1⇒V＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.]2．(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B[∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若It1＝e0.38t1，It2＝e0.38t2，It2＝2It1，则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，故选B．]命题规律：题目以社会热点、生活情景为载体，考查学生的创新意识和数学建模、数据分析的核心素养，难度适中，占5分．通性通法：应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般