第2部分 专题6 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 课件（共66张PPT）

专题六函数、导数和不等式第3讲导数与函数的单调性、极值、最值第二部分核心专题师生共研考点1导数的运算及其几何意义01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则()A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜eaD[法一(数形结合法)：设切点(x0，y0)，y0＞0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a)，由y0－b＝ex0x0－ay0＝ex0得ex0(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程ex0(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，当x＜a时，a－x＞0，所以f(x)＞0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D．法二(用图估算法)：过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D．]2．(2021·全国卷甲)曲线y＝2x－1x＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________．y＝5x＋2[y′＝2x－1x＋2′＝2x＋2－2x－1x＋22＝5x＋22，所以y′|x＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.]3．(2021·新高考卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|ex－1|，x10，x20，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则|AM||BN|的取值范围是________．(0,1)[当x＜0时，f(x)＝1－ex，f′(x)＝－ex，f(x)在A(x1,1－ex1)处的切线斜率为k1＝－ex1，当x＞0时，f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，f(x)在B(x2，ex2－1)处的切线斜率为k2＝ex2，由f(x)图象在A，B两点处的切线互相垂直⇒k1k2＝－ex1＋x2＝－1，∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0，∴|AM||BN|＝1＋e2x1·－x11＋e2x2·x2＝1＋e－2x21＋e2x2＝1ex2∈(0,1)，故|AM||BN|的取值范围是(0,1)．]命题规律：以基本初等函数为载体，考查曲线切线方程的求法，多以选择题、填空题形式考查，注意方程思想的应用．通性通法：导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线“在”某点的切线与曲线“过”某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．1．[以新定义为载体]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3A[对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.]2．[与物理学科交汇](2021·徐州模拟)随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P02－t30，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－32ln210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为()A．20天B．30天C．45天D．60天D[由P(t)＝P02－t30得P′(t)＝－130·P0·2－t30ln2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－32ln210，即P′(15)＝－2ln260P0＝－32ln210，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－t30，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，所以18·2－t30＝4.5，即2－t30＝14，所以－t30＝－2，解得t＝60.故选D．]3．[公切线问题]若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________.0或1[设直线y＝kx＋b与y＝lnx＋2的切点为(x1，y1)，与y＝ex的切点为(x2，y2)，由y＝lnx＋2的导数为y′＝1x，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝ex2＝1x1＝ex2－lnx1－2x2－x1，消去x2，可得(1＋lnx1)1－1x1＝0，则x1＝1e或1，则切点为1e，1或(1,2)，k＝e或1，则切线为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]考点2利用导数研究函数的单调性02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·新高考卷Ⅱ节选)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.讨论函数f(x)的单调性．[解]f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)，①当a≤0时，令f′(x)＝0⇒x＝0；且当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)递减；当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)递增；②当0＜a＜12时，令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝ln2a＜0，且当x＜ln2a时，f′(x)＞0，f(x)递增，当ln2a＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)递减；当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)递增；③当a＝12时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)在R上递增；④当a＞12时，令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝ln2a＞0，且当x＜0时，f′(x)＞0，f(x)递增；当0＜x＜ln2a时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x＞ln2a时，f′(x)＞0，f(x)递增．2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋alnx.讨论f(x)的单调性．[解]∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2－ax＋1x2.(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝a－a2－42或x＝a＋a2－42.当x∈0，a－a2－42∪a＋a2－42，＋∞时，f′(x)＜0；当x∈a－a2－42，a＋a2－42时，f′(x)＞0.所以f(x)在0，a－a2－42，a＋a2－42，＋∞单调递减，在a－a2－42，a＋a2－42单调递增．命题规律：以含参数的函数解析式为载体，融不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知识的灵活应用能力，有一定的难度.通性通法：利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导函数f′(x)．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0即可；②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)讨论含参数的单调性常见的四个方面．如f′(x)＝ax2＋2x＋1－ax2.①二次项系数的讨论．②根的存在性讨论，“Δ”讨论．③根大小讨论．④根在不在定义域内讨论．提醒：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立．12341．[导数与数的大小比较]定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定1234A[设g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′xex－fxexe2x＝f′x－fxex，由题意知g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即fx2ex2＞fx1ex1，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．]12342．[导数与解不等式]已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0.当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(1，＋∞)1234C[令g(x)＝fxx2，∴g′(x)＝x2f′x－2xfxx4＝xf′x－2fxx3，又g(1)＝0，当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，即g′(x)＜0，因为f(x)为偶函数，所以当x＜0时，g′(x)＞0，1234f(x)＞0等价于g(x)＞0，所以x＞0gx＞g1或x＜0，gx＞g－1，所以0＜x＜1或－1＜x＜0，故选C．]12343.[已知单调性求参数的范围]已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．1234[解](1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．1234(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，1234法一：(分离参数法)即a≥x2＋2xx＋1＝x＋12－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1,1)都成立．令g(x)＝(x＋1)－1x＋1，则g′(x)＝1＋1x＋12＞0.所以g(x)＝(x＋1)－1x＋1在(－1,1)上单调递增．所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－11＋1＝32.所以a的取值范围是32，＋∞.1234法二：(数形结合法)即x2－(a－2)x－a≤0在(－1,1)上恒成立．令h(x)＝x2－(a－2)x－a，则h－1＝1＋a－2－a≤0h1＝1－a－2－a≤0，解得a≥32.所以a的取值范围是32，＋∞.考点3利用导数研究函数的极值(最值)问题03高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷乙)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2D[(分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0可得x＝a或x＝a＋2b3.(1)当a＞0时，①若a＋2b3＞a，即b＞a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在a，a＋2b3上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；②若a＋2b3＝a，即b＝a，此