【新高考复习】课时跟踪检测（四） 基本不等式 作业

课时跟踪检测（四）基本不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·豫北重点中学联考)设a0，则a＋a＋4a的最小值为()A．2a＋4B．2C．4D．5解析：选Da＋a＋4a＝a＋1＋4a≥1＋2a·4a＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.2．设x为实数，则“x0”是“x＋1x≤－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若x0，则－x0，x＋1x＝－(－x)＋1－x≤－2，∴“x0”是“x＋1x≤－2”的充分条件；若x＋1x≤－2，则x2＋2x＋1x≤0，得x0，∴“x0”是“x＋1x≤－2”的必要条件．综上，“x0”是“x＋1x≤－2”的充要条件．故选C.3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝sinx＋1sinx0xπ2C．y＝x2＋5x2＋4D．y＝ex＋4ex－2解析：选D对于选项A，当x0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x0时，y＝x＋1x≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0xπ2，因此0sinx1，函数的最小值取不到2，故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝x2＋4＋1x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4≥52，故C不合题意．故选D.4．(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是()A．ab有最大值14B.a＋b有最小值2C.1a＋1b有最小值4D．a2＋b2有最小值22解析：选AC∵a0，b0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，∴ab有最大值14，∴A正确．∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab≤a＋b＋2×a＋b2＝2，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，∴a＋b≤2，即a＋b有最大值2，B错误．∵1a＋1b＝a＋bab≥1a＋b22＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，∴1a＋1b有最小值4，∴C正确．∵a2＋b2≥a＋b22＝12，当且仅当a＝b＝12时等号成立，∴a2＋b2的最小值不是22，∴D错误，故选A、C.5．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2解析：选C设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x0，y0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤x＋y24＝424＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.6．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5二、综合练——练思维敏锐度1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：选D由1＝2x＋2y≥22x·2y，变形为2x＋y≤14，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．2．若a0，b0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B法一：由于a＋b＝ab≤a＋b24，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.3．已知a0，b0，并且1a，12，1b成等差数列，则a＋9b的最小值为()A．16B．9C．5D．4解析：选A∵1a，12，1b成等差数列，∴1a＋1b＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)1a＋1b＝10＋ab＋9ba≥10＋2ab·9ba＝16，当且仅当ab＝9ba且1a＋1b＝1，即a＝4，b＝43时等号成立，故选A.4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1B．3C．6D．12解析：选B∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝3－x22x，∴2x＋y＝2x＋3－x22x＝3x2＋32x＝3x2＋32x≥23x2·32x＝3，当且仅当3x2＝32x，即x＝1时取等号．故选B.5．若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．7＋23B．6＋23C．7＋43D．6＋43解析：选C由题意得3a＋4b＝ab，∴3a＋4b＝ab，∴4a＋3b＝1(a0，b0)．∴a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝4＋3＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当3a＝2b时取等号．故选C.6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是()A.53B.83C．8D．24解析：选C因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以3x＋2y＝13(2x＋3y)3x＋2y＝1312＋9yx＋4xy≥1312＋29yx·4xy＝8，当且仅当x＝34，y＝12时等号成立，所以3x＋2y的最小值为8，故选C.7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则4a＋b＋a＋bc的最小值为()A．2B．2＋2C．4D．2＋22解析：选D因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，所以4a＋b＋a＋bc＝2a＋b＋ca＋b＋a＋bc＝2＋2ca＋b＋a＋bc≥2＋22，当且仅当a＋b＝2c，即c＝22－2时，等号成立，所以4a＋b＋a＋bc的最小值为2＋22.8．正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)解析：选D因为a0，b0，1a＋9b＝1，所以a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝10＋ba＋9ab≥10＋29＝16，当且仅当ba＝9ab，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，则f(x)＝(x－2)2－6，所以f(x)的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.9．实数x，y满足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a0，b0)的最大值为1，则1a＋1b有()A．最大值9B．最大值18C．最小值9D．最小值18解析：选C根据|x＋y|＋|x－y|＝2，可得点(x，y)满足的图形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，D(1，－1)为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a＋1b(4a＋b)＝5＋4ab＋ba≥9，当且仅当4ab＝ba，即a＝16，b＝13时取等号．故1a＋1b有最小值9.故选C.10．已知a0，b0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a0，b0，所以ab＝12(a·2b)≤12a＋2b22＝18，当且仅当a＝12，b＝14时取等号．故ab的最大值是18.答案：1811．若关于x的不等式x＋4x－a≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：∵x＋4x－a＝x－a＋4x－a＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由xa可得x－a0.则(x－a)＋4x－a≥2x－a·4x－a＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又∵x－a＋4x－a≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.答案：112．已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__________．解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(x)＝x＋8x≥42，当x＝22时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝173，∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.答案：－83，＋∞13．(1)当x＜32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0＜x＜2，求函数y＝x4－2x的最大值．解：(1)y＝12(2x－3)＋82x－3＋32＝－3－2x2＋83－2x＋32.当x＜32时，有3－2x＞0，∴3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2.14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50,100]或y＝2340x＋1318x，x∈[50，100].(2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810时等号成立．故当x＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．三、自选练——练高考区分度1．已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线xm＋yn＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为()A．16B．8C．12D．14解析：选B由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线xm＋yn＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，∴3m＋1n＝2，即32m＋12n＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)32m＋12n＝92＋12＋3n2m＋3m2n≥23n2m·3m2n＋5＝8(当且仅当n＝m＝2时，取等号)，∴3m＋n的最小值为8.2．若实数x，y满足x2y2＋x2＋y2＝8，则x2＋y2的取值范围为()A．[4,8]B．[8，＋∞)C．[2,8]D．[2,4]解析：选A∵x2y2≤x2＋y224，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤x2＋y224＋(x2＋y2)(x2＝y2＝2时取等号)，(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4,8]．3.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，使用x表示y的函数关系式；(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．解：(1)∵△ABC的边长是20米，D在AB上，则10≤x≤20，S△ADE＝12S△ABC，∴12x·AEsin60°＝12·34·202，故AE＝200x.在△ADE中，由余弦定理得，y＝x2＋4·104x2－200(10≤x≤20)．(2)若DE作为输