第2部分 专题7 第1讲　坐标系与参数方程 课件（共40张PPT）

专题七选考部分第1讲坐标系与参数方程第二部分核心专题师生共研考点1极坐标方程及其应用01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1.(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.2．(2021·全国卷乙)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[解](1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，则⊙C的参数方程为x＝2＋cosαy＝1＋sinα(α为参数)．(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，所以|2k－1＋1－4k|k2＋1＝1，解得k＝±33，则这两条切线方程分别为y＝33x－433＋1，y＝－33x＋433＋1，故这两条切线的极坐标方程分别为ρsinθ＝33ρcosθ－433＋1，ρsinθ＝－33ρcosθ＋433＋1.命题规律：以解答题的形式出现，难度中等，分值10分．通性通法：求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．[以几何图形为载体]在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．(1)当玫瑰线的θ∈0，π2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；(2)求曲线ρ＝22sinθ＋π4上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M，N的极坐标．[解](1)以极点为圆心的单位圆为ρ＝1，与ρ＝2sin2θ联立，得2sin2θ＝1，所以sin2θ＝12，因为θ∈0，π2，所以θ＝π12或5π12，从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为1，π12和1，5π12.(2)曲线ρ＝22sinθ＋π4的直角坐标方程为x＋y＝4.玫瑰线ρ＝2sin2θ极径的最大值为2，且在点N2，π4取得，连接ON与x＋y＝4垂直且交于点M22，π4(图略)，所以点M与点N的距离的最小值为22－2，此时对应的点M，N的极坐标分别为22，π4，2，π4.2．[与伸缩变换交汇]已知曲线C1：x2＋(y－2)2＝4在伸缩变换x′＝2x，y′＝2y下得到曲线C2，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)把C1化为极坐标方程并求曲线C2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(ρ0,0απ)与C1，C2交点为A，B，|AB|＝2，求α.[解](1)曲线C1：x2＋(y－2)2＝4，转换为极坐标方程为：ρ＝4sinθ.伸缩变换x′＝2x，y′＝2y转换为：x＝x′2，y＝y′2，代入曲线C1：x2＋(y－2)2＝4，得到极坐标方程为ρ＝8sinθ.(2)把θ＝α代入ρ＝4sinθ，即ρ＝4sinα，转换为A(4sinα，α)，同理B(8sinα，α)，由于0απ，所以|AB|＝|8sinα－4sinα|＝4sinα＝2，解得sinα＝12，故α＝π6或5π6.3．[与参数方程交汇]在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝2，曲线C：x＝2cosφ，y＝2＋2sinφ(φ为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为3，π6.(1)求直线l1和曲线C的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知射线l2：θ＝α0＜α＜π2与l1，C的公共点分别为A，B，且|OA|·|OB|＝83，求△MOB的面积．[解](1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l1：x＝2的极坐标方程是ρcosθ＝2，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)将θ＝α分别代入ρcosθ＝2，ρ＝4sinθ，得|OA|＝ρA＝2cosα，|OB|＝ρB＝4sinα.∴|OA|·|OB|＝8tanα＝83，∴tanα＝3.∵0＜α＜π2，∴α＝π3.∴|OB|＝23，|OM|＝3，∠MOB＝π6.∴S△MOB＝12|OM||OB|sin∠MOB＝12×3×23×12＝332.即△MOB的面积为332.考点2参数方程及其应用02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝coskt，y＝sinkt(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.(1)当k＝1时，C1是什么曲线？(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．[解](1)当k＝1时，C1：x＝cost，y＝sint，消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k＝4时，C1：x＝cos4t，y＝sin4t，消去参数t得C1的直角坐标方程为x＋y＝1.C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.由x＋y＝1，4x－16y＋3＝0，解得x＝14，y＝14.故C1与C2的公共点的直角坐标为14，14.2．(2021·全国卷甲)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝22cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP→＝2AM→，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．[解](1)根据ρ＝22cosθ，得ρ2＝22ρcosθ，因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝22x，所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝2.(2)设P(x，y)，M(x′，y′)，则有AP→＝(x－1，y)，AM→＝(x′－1，y′)，因为AP→＝2AM→，所以x－1＝2x′－1y＝2y′，即x′＝x－12＋1y′＝y2，又M为曲线C上的动点，所以x－12＋1－22＋y22＝2，即(x－3＋2)2＋y2＝4，所以P的轨迹C1的参数方程为x＝3－2＋2cosαy＝2sinα(其中α为参数，α∈[0,2π))．易得|CC1|＝3－22，圆C1的半径r1＝2，圆C的半径r＝2，所以|CC1|＜r1－r，所以C与C1没有公共点．命题规律：以解答题的形式出现，分值10分．通性通法：(1)消去参数的三种常用方法①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特点，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．(2)经过点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋t22；②|PM|＝|t0|＝t1＋t22；③|AB|＝|t1－t2|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.1．[参数方程与极坐标的交汇问题]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝m＋13m，y＝m－13m，(m为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋π3＝1.(1)求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；(2)已知点M(2，0)，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求1MP＋1MQ的值．[解](1)由x2＝m2＋23＋19m2，y2＝m2－23＋19m2，故x2－y2＝43⇒3x24－3y24＝1.又直线l：ρ12cosθ－32sinθ＝1⇒12x－32y＝1，故x－3y－2＝0.(2)由k＝tanθ＝33⇒cosθ＝32，sinθ＝12，故直线l的标准参数方程为x＝2＋32t，y＝12t(t为参数)，将其代入曲线C中，得12t2＋23t＋83＝0⇒t1＋t2＝－43，t1t2＝163，故1MP＋1MQ＝1t1＋1t2＝t1＋t2t1t2＝334.2．[直线与圆、椭圆的交汇问题]已知直线l：x＝t，y＝－3＋3t，(t为参数)，曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．[解](1)直线l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得l与C1的交点为A(1,0)，B12，－32，则|AB|＝1.(2)曲线C2的参数方程为x＝12cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标为12cosθ，32sinθ，从而点P到直线l的距离是d＝32cosθ－32sinθ－32＝342sinθ－π4＋2，由此当sinθ－π4＝－1时，d取得最小值，且最小值为23－64.